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Funktion endlich viele Nullstellen

Universität / Fachhochschule

Tags: Funktion, Nullstellen

 
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gonnabeph

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21:18 Uhr, 17.10.2014

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Abend, ich soll beweisen:

Die Funktion f sei differenzierbar in [a,b] und für alle x∈[a,b]

∣f(x)∣+∣fʹ(x)∣≠0.

Beweisen Sie, dass f in [a,b] nur endlich viele Nullstellen hat.

Ich habe mir dazu schon einige Gedanken gemacht die ich nun präsentieren möchte.

Mein Ansatz:

Da ∣f(x)∣+∣fʹ(x)∣≠0 betrachten wir zwei Fälle.

1.Fall: ∣f(x)∣+∣fʹ(x)∣<0

Das ist äquivalent zu: ∣fʹ(x)∣<-∣f(x)∣<0 also gilt: ∣fʹ(x)∣<0 und demnach ist f nach dem Monotoniekriterium streng monoton fallend. D.h. f schneidet die x-Achse maximal einmal.

2.Fall ∣f(x)∣+∣fʹ(x)∣>0

Ja, bei dem Fall hänge ich und da klappt die Umformung nicht so einfach um mit dem Monotoniekriterium zu argumentieren. Ich habe schon überlegt den zweiten Fall in weitere Teilfälle zu unterteilen also sprich:

2.1.Fall: fʹ(x)>0 und f(x)<0 um dann die Beträge weg zu bekommen. Scheint mit allerdings auch der falsche Ansatz zu sein.

Kann mir jemand helfen?

Besten Dank!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Nullstellen (Mathematischer Grundbegriff)
Vielfachheit einer Nullstelle (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
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DrBoogie

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21:20 Uhr, 17.10.2014

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"1.Fall: ∣f(x)∣+∣f′(x)∣<0"

Echt? Ein Betrag kann nicht negativ sein, sorry.

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DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

21:23 Uhr, 17.10.2014

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Was passiert, wenn f doch unendlich vielen Nullstellen hat?
Hinweis: Häufungspunkt.
gonnabeph

gonnabeph aktiv_icon

21:34 Uhr, 17.10.2014

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Hi DrBoogie,

Ich verstehe nicht so ganz wieso das nicht klappen sollte?

1.Fall: ∣f(x)∣+∣fʹ(x)∣<0 habe ich gegeben. Wenn ich nun ∣f(x)∣ subtrahiere steht dort:
∣fʹ(x)∣<-∣f(x)∣ und da ∣f(x)∣>0 und davor noch das Minus steht ist -∣f(x)∣ auf jeden Fall kleiner Null. Deswegen auch meine Folgerung das dann ∣fʹ(x)∣<-∣f(x)∣<0 und demnach ist dann auch ∣fʹ(x)∣<0.
Kannst du mir das noch einmal erklären? :-)

Häufungspunkte kenne ich nur aus dem Thema Folgen. Wie ich den Begriff jetzt in Verbindung mit den Nullstellen bringen soll fällt mir auf Anhieb jetzt nicht ein ...

Ein andere Idee die mich gerade beflügelt hat ist ein Beweis über den Zwischenwertsatz indem ich einen Widerspruchsbeweis führe und annehme p(x)=∣f(x)∣+∣fʹ(x)∣ besitzt unendlich viele Nullstellen in [a,b] und es irgendwie zu einem Widerspruch führe.

Klappt es eventuell so?

Dankeschön! :-)
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DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

22:09 Uhr, 17.10.2014

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Noch mal:
∣f(x)∣+∣f′(x)∣<0 kann NIEMALS sein,
weil ∣a∣≥0 für alle a und eine Summe von nichtnegativen Zahlen kann nie negativ sein.

Zu Deinen Ideen: ja, zum Widerspruch zu führen ist richtig. Aber wie willst Du das erreichen? Ich sehe noch keinen Ansatz. Wie Du den Zwischenwertsatz anwenden willst, weiß ich nicht.
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DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

10:26 Uhr, 18.10.2014

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Da ich davon ausgehe, dass Du diese Aufgabe nicht alleine hinkriegst, hier eine Skizze des Widerspruchsbeweises:
Wenn f unendlich viele Nullstellen hat, haben sie einen Häufungspunkt, also gibt's eine Folge an→a mit f(an)=0. Dann ist f(a)=0, deshalb ∣fʹ(a)∣>0, deshalb ∣fʹ(x)∣>0 in einer Umgebung (a-ɛ,a+ɛ), aber wegen an→a gibt's mindestens zwei Terme der Folge: an1<an2 in dieser Umgebung. Wegen f(an1)=f(an2)=0 soll es dazwischen ein y mit fʹ(y)=0 geben, aber das geht nicht, weil ∣fʹ(x)∣>0 in der ganzen Umgebung. Widerspruch.
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DrBoogie

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10:26 Uhr, 18.10.2014

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Doppelt.
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