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Funktion minimaler Flächeninhalt

Schüler Allgemeinbildende höhere Schulen,

Tags: Flächeninhalt, Funktion, Funktionsgraph, Integral, Minima, minimal, Rotationskörper, volum

KaiserKarl1887 aktiv_icon

18:55 Uhr, 19.04.2014

Gegeben sind die Funktionen fk mit fk(x)

= \frac{1}{4} {(k \cdot x - 5)}^{2}

Skizziere den Funktionsgraphen für

k = 1

und

k = 2

a)

Die beiden Koordinatenachsen und der Graph begrenzen ein Flächenstück, das um die x-Achse rotiert. Berechne das Volumen des erzeugten Rotationskörper für

k = 2

b)

Für welchen Wert von

k

hat der Inhalt der Fläche über dem Intervall

[0; 5]

einen kleinsten Wert? Berechne diesen minimalen Flächeninhalt!

k = 1 \Rightarrow f (x) = \frac{1}{4} \cdot {(1 \cdot x - 5)}^{2}

k = 2 \Rightarrow f (x) = \frac{1}{4} \cdot {(2 \cdot x - 5)}^{2}

Nullstelle bei

k = 2 : 2,5

S 1 (0; 6,25)

S 2 (3,33; 0,69)

V = π \cdot \int {(\frac{1}{4} \cdot {(2 x - 5)}^{2})}^{2}

V = π \cdot \frac{1}{16} \int

(zwischen

2,5

und

0) {(4 x^{2} - 20 x + 25)}^{2}

V = π \cdot [\frac{16 x^{5}}{80} - \frac{160 x^{4}}{64} + \frac{600 x^{3}}{48} - \frac{1000 x^{2}}{32} + \frac{625 x}{16}]

2,5

einsetzen:

= π \cdot [19,53125 - 97,65625 + 195,3125 - 195,3125 + 97,65625)

V = π \cdot 19,53125 = 61,35923152 ~ 61,36

VE

Nun weiß ich jedoch leider nicht, wie ich

c)

löse. Wie berechne ich mir den kleinsten wert? In die Funktionsgleichung einsetzen? Und was ist ein "minimaler Flächeninhalt" und wie berechne ich mir diesen? Ich bitte euch um Hilfe. Vielen Dank im Voraus und liebe Grüße!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen
Flächeninhalte
Flächenmessung
Funktionsgraphen analysieren
Kreis: Umfang und Flächeninhalt
Kreisteile: Berechnungen am Kreis

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

magix aktiv_icon

20:10 Uhr, 19.04.2014

Du meinst vermutlich die Aufgabe, die du hier unter

b)

gepostet hast.
Wenn

F (x)

die Fläche angibt, wie bekomme ich dann die Information, wo diese ein Minimum hat?
Wie bekomme ich allgemein die Information, an welcher Stelle eine Funktion ein Minimum hat?
Na, dämmerts?

Gruß Magix

KaiserKarl1887 aktiv_icon

21:12 Uhr, 19.04.2014

Nein, leider muss ich zu meiner Schande gestehen, dass mir dazu nichts einfällt.

Respon

21:42 Uhr, 19.04.2014

Ungefähr so

...

f (x) = \frac{1}{4} \cdot {(k \cdot x - 5)}^{2}

A (k) = \int_{0}^{5} \frac{1}{4} \cdot {(k \cdot x - 5)}^{2} d x = ... .

.
Der Term, den du erhältst, hat kein "x" mehr und ist daher nur von

k

abhängig.

\Rightarrow A (k)

nach

k

differenzieren, diese erste Ableitung 0 setzen und das

k

berechnen. ( es sollte

k = \frac{3}{2}

herauskommen )

KaiserKarl1887 aktiv_icon

22:17 Uhr, 19.04.2014

Habe ich das jetzt richtig verstanden?

\int (\frac{1}{4} \cdot {(x \cdot k - 5)}^{2}

(zwischen

0; 5)

5 für

x

einsetzen?:

\Rightarrow \frac{1}{4} \cdot \int {(5 k - 5)}^{2}

= \frac{1}{4} \cdot (\frac{25 x^{3}}{3} - \frac{50 k^{2}}{2} + 25)

f (x) = \frac{25 k^{3}}{12} - \frac{50 k^{2}}{8} + \frac{25 k}{4}

Und dies nun differenzieren? Dann würde mir jedoch folgendes rauskommen:

f' (x) = \frac{75 k^{2}}{12} - \frac{100 k}{8} + \frac{25}{8}

dies wäre nun eine binomische Formel:

(\frac{12,5 \pm \sqrt{{12,5}^{2} - 4 \cdot 6,25 \cdot 6,25}}{2 \cdot 6,25})

= \frac{12,5 \pm \sqrt{156,25 - 156,25}}{12,5}

= \frac{12,5}{12,5} = 1

also meine Frage wie ich dies richtig hätte lösen sollen, da dies ungleich

15

ist?

Respon

22:30 Uhr, 19.04.2014

f (x) = \frac{1}{4} \cdot {(k \cdot x - 5)}^{2}

f (x) = \frac{1}{4} \cdot (k^{2} \cdot x^{2} - 10 \cdot k \cdot x + 25)

A (k) = \int_{0}^{5} \frac{1}{4} \cdot (k^{2} \cdot x^{2} - 10 \cdot k \cdot x + 25) d x = \frac{1}{4} \cdot (\frac{k^{2} \cdot x^{3}}{3} - 5 \cdot k \cdot x^{2} + 25 \cdot x) |_{0}^{5} = \frac{1}{4} \cdot (\frac{125 \cdot k^{2}}{3} - 125 \cdot k + 125)

A (k) = \frac{1}{4} \cdot (\frac{125 \cdot k^{2}}{3} - 125 \cdot k + 125)

A' (k) = \frac{1}{4} \cdot (\frac{250 \cdot k}{3} - 125)

A' (k) = 0 \Rightarrow \frac{1}{4} \cdot (\frac{250 \cdot k}{3} - 125) = 0 \Rightarrow k = \frac{3}{2}

KaiserKarl1887 aktiv_icon

22:43 Uhr, 19.04.2014

Vielen Dank ;-) und schöne Feiertage!

Respon

22:44 Uhr, 19.04.2014

igualmente !

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