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Funktion mit Koeffizienten bestimmen
Universität / Fachhochschule
Tags: Koeffizienten bestimmen, Kurvendiskussion
 
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Hallo zusammen, ich bin auf der Suche nach einer Funktion mit ihren Koeffizienten, die folgende Bedingungen erfüllt: Minima der zweiten Ableitung Die Funktion soll am Anfangspunkt übergangslos (glatt) von einer Geraden mit der Steigung in die Kurve eintreten und am Endpunkt übergangslos (glatt) in die Gerade mit der Steigung 0 übergehen. Die Funktion wird nur im Bereich betrachtet, deshalb ist der Funktionsverlauf außerhalb des Bereiches nicht von Bedeutung. Ich weiß, dass es eine Funktion höheren Grades sein muss. Vielen Dank für eure Antworten :-) Gruß  Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Kurvendiskussion (Mathematischer Grundbegriff) Funktion (Mathematischer Grundbegriff) |
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Hallo, jede Bedingung (die du etwas eigenartig in der Form z.B. statt geschrieben hast) stellt eine letztlich eine Gleichung dar, wenn du dich für einen "Prototypen" an Funktion entschieden hast. Für jede (unabhängige) Gleichung hast du einen Freiheitsgrad (d.h. darfst eine neue Variable einführen). Damit kannst du deine gesuchte Funktion z.B. durch eine ganzrationale Funktion (sehr vermutlich dann 6. Grades) modellieren, selbst wenn dann vermutlich die anderen Parameter nicht stimmen werden (Verlauf der Ableitungen). Du könntest es auch mit Sinus probieren, der aber wegen des hohen Wertes an der Stelle vermutlich nicht dazu führt, dass die Steigung bei stimmt. Und wenn du das anpasstest, könnte es sein dass der Wendepunkt aus der Mitte herauswandert. Weitere geeignete Prototypen gibt es sicherlich noch. Ist denn etwas über mögliche Prototypen bekannt? Mfg Michael |
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Hallo michaL, die Funktion ist warscheinlich eine Funktion 5ten Grades oder um den Dreh mit der Form: Eine Sinusfunktion habe ich schon versucht, jedoch ist passen die Ableitungen nicht zu meiner Probelmstellung, da ich die Verläufe, die ich als Skizze angekängt habe erreichen muss um einen Sauberen Übergang zu haben |
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Hallo, lässt man die letzte Bedingung erst einmal fort, dann erhältst du ja tatsächlich 6 Gleichungen, womit eine (ganzrationale) Funktion 5. Grades modelliert werden kann. Ich löse solche Gleichungssysteme auch nicht mehr per Hand. Das können Rechner viel besser. Ich erhalte dann (was erstaunlich ganzzahlige Werte sind). Allerdings hat die zweite Ableitung dieser Funktion bei kein Minimum. Ich baue noch die letzte Bedingung ein () und schaue mal, wie es dann aussieht. Mfg Michael PS: Mit der letzten Funktion müsste dann eine ganzrationale Funktion 6. Grades modelliert werden, was aber offenbar nicht geht. Wenn du also damit leben kannst, dass das Minimum der obigen Funktion etwas von 0,5 entfernt ist, so scheint mir dies im Moment ein guter Kandidat zu sein. |
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Hey, mit deiner Funktion erhalte ich diesen Graphen. Siehe Bild Ich möchte aber bei dem Punkt den steigungsverlauf an der Kurve beibehalten, wie du in der Skizze der Fragestellung sehen kannst  |
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Das was ich brauche, ist die Funktion, die Sie berechnet haben zwischen nur dass bei sein muss |
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Verlauf der Funktion (oben) in der Mitte ist die 1. Ableitung und unten die zweite Ableitung. Beginnen tut die Funktion bei und endet bei Das ist das Ursprunksproblem  |
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Warum sollte denn jetzt plötzlich der Kurvenverlauf an der Stelle so flach sein? (Siehe Zeichnung, grüne Gerade). Die Polynomfunktion fünften Grades erfüllt doch alle anfangs genannten Bedingungen. Warum sollte ursprünglich an der Stelle das Minimum der zweiten Ableitung vorliegen (liegt jetzt bei ca. ? Und jetzt soll bei plötzlich die Steigung 1 sein (jetzt ist sie dort ca ? Wie lautet denn die genaue und vollständige Aufgabenstellung? Aufgrund der überraschend ganzzahligen Koeffizienten kann man ja vermuten, dass es sich um eine Schulaufgabe handelt, oder? Wenns um einen Straßenverlauf ginge, würde man sonst ja eher eine Klothoide heranziehen.  |
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Es geht um das Probem, dass ich eine Bewegungskurve eines Motors entwickeln soll, dieser hat ein begrenztes Moment(beschleunigung), dass jedoch von Anlage zu Anlage unterschiedlich ist. Mit dem Kurvenausschnitt aus dem Programm welches in der letzten Nachricht von mir war soll nun eine Funktion, die unbekannt ist zwischen die zwei Geraden gesetzt werden, um die Beschleunigung möglichst gering zu halten. Das Programm aus dem ich das Diagramm habe verrät mir diese Funktion nicht, ich bekomme nur die Grafik angezeigt. Aus dieser muss dann eine Funktion entwickelt werden, die dem Verlauf in der Grafik mit ihren Ableitungen entspricht. Das Polynom 5ten Grades würde den Anfangsbedingungen entsprechen, jedoch sind die Beschleunigungswerte viel zu hoch. Deshalb bezweifle ich, dass es mit dem Polynom 5 zu tuen hat. |
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Sieh dir doch meine Zeichnung an und deren Skalierung. Um in der kurzen Zeit bis einen Weg von bis zu überwinden, muss die mittlere Steigung nun mal sein. Wenn nun für Anfang und Ende noch geringe Steigungen wie 1 und 0 vorgegeben sind, geht das nur, indem dazwischen eben noch deutlich höhere Steigungen als der vorliegenden Funktion . an der Stelle auftreten. Dass es da du relativ abrupten Steigungswechsel und damit zu höheren zweiten Ableitungen kommt ist verständlich. Mit dem Kurvenausschnitt aus dem Programm welches in der letzten Nachricht von mir war Du meinst deine Handskizze? Der Verlauf von ist dort doch völlig unrealistisch! Die Steigung beginnt bei 1 fällt dann kontinuierlich bis auf 0. Wie willst du mit diesem Verlauf der ersten Ableitung von 4 auf kommen? Selbst wenn die Ableitung konstant 1 wäre, würdest du nur von 4 auf 5 kommen. Dementsprechend ist ein Verlauf von erster und zweiter Ableitung so wie bei der Polynomfunktion zu erwarten (siehe Bild), auch wenn man vermutlich die zweite Ableitung durch weniger abrupte Steigungsänderungen etwas eindämpfen kann. Da ist also grundsätzlich was faul, wenn ich mir deine Wunschzeichnung und die Realität ansehe. Vielleicht ein Skalierungsproblem bedingt durch falsche Einheiten?  |
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