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Funktionenschar mit 2 Nullstellen

Schüler , 12. Klassenstufe

Tags: Funktionsschar, Nullstellen

Nocky

09:50 Uhr, 29.01.2012

Guten Morgen,

folgende Aufgabe bereitet mir Probleme:

Gegeben sei die Funktionsschar: fk(x)

= k \cdot x^{2} - x^{3}

a

.
Zeige das fk(x) genau 2 Nullstellen besitzt, für jedes

k > 0

b

.
Bestimme

k > 0

so, dass fk(x) mit der x-Achse die Fläche

\frac{27}{64}

einschließt.

Meine Ansätze:

a

.
Im Taschenrechner sieht man das alle Funktionen der Schar durch den Punkt

(0 | 0)

verlaufen. Dort hat die Funktion scheinbar eine doppelte Nullstelle.
Jetzt könnte man die Funktionen ja gleichsetzten mit unterschiedlichen Parametern und nach

x

umstellen:

k 1 \cdot x^{2} - x^{3} = k 2 \cdot x^{2} - x^{3}

wenn ich umstelle erhalte ich aber:

k 1 = k 2

das kann ja nicht korrekt sein...

Weiterhin hat die Funktion (weil Grad

3)

ja genau 2 Nullstellen wenn eine doppelte Nullstelle existiert bzw. fk(x) gleichzeitig auf der

x

Achse ein Extrema und eine Nullstelle hat.

Edit:

Ich habe inzwischen Folgende Nullstellen:

x 1 = 0

x 2 = k

b

.
Beruht denke ich weitestgehend auf

a

. da man die zweite Nullstelle die von

k

abhängt ja als grenze

b

für das Integral hat.

Am wichtigsten wäre mir Aufgabe

a

. da ich gerade wirklich auf dem Schlauch stehe

. .

.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Nullstellen (Mathematischer Grundbegriff)
Vielfachheit einer Nullstelle (Mathematischer Grundbegriff)
Funktionenschar (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Allgemeine Exponentialfunktion - Fortgeschritten
Allgemeine Sinusfunktion
Nullstellen
Nullstellen bestimmen
Polynomdivision

Allgemeine Exponentialfunktion - Fortgeschritten
Allgemeine Sinusfunktion
Nullstellen
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anonymous

10:09 Uhr, 29.01.2012

klammere einfach mal

x^{2}

in fk aus. dann siehst du die nullstellen.

⊙ k

Nocky

10:20 Uhr, 29.01.2012

wenn ich das mache erhalte ich:

fk(x)=

x^{2} \cdot (k - x)

dann habe ich die Nullstellen:

x 1 = 0

x 2 = k (> 0)

um die Aufgabe

a

. zu erfüllen müsste ich jetzt doch nur beweisen das auch in der 1. Ableitung das mit der doppelten Nullstelle bei

k > 0

gilt.

Man sieht ja das wenn

k < 0

wird die Klammer nicht mehr 0 ist und

x 2 = k

nicht mehr gegeben ist.

Reicht das als Beweis oder muss ich das noch allgemein formulieren für die Aufgabenstellung ?

Underfaker aktiv_icon

10:24 Uhr, 29.01.2012

Es ist ausreichend mit Wissen, das

k > 0

ist zu zeigen, dass man 2 Nullstellen ermitteln kann.

Anders gesagt, du findest ja keine weitere als diese 2 also gibt es genau 2.

Was du da noch bei der doppelten Nullstelle zeigen willst, scheint mir ein wenig überflüssig, weil es nicht von dem

k

abhängt, das bei

x_{1,2} = 0

eine Nullstelle ist

also für

k > 0

und

k < 00

wäre dort eine, von daher ist es egal, (wobei

k = 0

recht wenig Sinn machte)

bei

b)

bildest du eine Stammfunktion und setzt deine Grenzen ein und setzt das

= \frac{27}{64}

wobei

k

deine obere Grenze ist, wegen

k > 0,

das funktioniert sogar recht leicht.

Im Übrigen ist das Käse was du da geschrieben hast,

k < 0 \Rightarrow

Die Nullstelle ist nicht mehr gegeben.

k - x = 0

das gilt für positives wie negatives

k

gleichermaßen, denn nehmen wir mal an wir setzen dort beispielhaft

k = 1

und

k = - 1

ein:

1 - 1 = 0

passt

- 1 - (- 1) = 0

passt auch.

Allgemein:

k - k = 0 \land - k - (- k) = 0

Nocky

10:55 Uhr, 29.01.2012

Vielen Dank,

b

\frac{27}{64} = \frac{1}{3} \cdot k \cdot k^{3} - \frac{1}{4} k^{4}

\frac{27}{64} = \frac{1}{3} k^{4} - \frac{1}{4} k^{4}

\frac{27}{64} = 0,08333 k^{4} | 4

Wurzel ziehen

1,5 = k

wenn

k = 1,5

dann ist

A = \frac{27}{64}

Underfaker aktiv_icon

11:01 Uhr, 29.01.2012

Für diese Stammfunktion habe ich ebenfalls

k = 1,5

raus :-)

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