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Integralrechnung

Schüler , 12. Klassenstufe

Tags: Aufleitung, Fläche, Integral, Summe

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15:30 Uhr, 16.09.2011

Hallo, alle zusammen!

Die Aufgabe ist den Flächeninhalt des Intervalls

[6; 3]

bei

f (x) = x^{2} + 1

zu berechnen. Ich versteh das aber nicht irgendwie. Für

[3; 6]

kann ich es ja berechnen, in dem ich

6

in die Stammfunktion einsetze und dann die

3

in der Stammfunktion abziehe, sprich

(\frac{1}{3} \cdot 6^{3} + 6) - (\frac{1}{3} \cdot 3^{3} + 3) -

Für

[3; 6]

muss ja eigentlich genauso sein, aber das negative Ergebnis stört mich dabei... Wie kommt es, dass der Flächeninhalt dann plötzlich das Vorzeichen - hat . Warum, wieso, weshalb

- . -

mfg

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Bestimmtes Integral (Mathematischer Grundbegriff)
Flächenberechnung durch Integrieren

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

DmitriJakov aktiv_icon

15:54 Uhr, 16.09.2011

Richtig, Flächen können nicht negativ werden. Deswegen nimm den absoluten Betrag des Itegrals.

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16:39 Uhr, 16.09.2011

Ja, woher kommt das minus aber her?

Genu das versteh ich nicht. Und wenn ich

z . B

. im dritten Quadranten (wo doch

x

und

y

negativ sind) eine Fläche berechne, dann ist die Fläche plötzlich positiv, aber warum?

DmitriJakov aktiv_icon

17:03 Uhr, 16.09.2011

Wenn Du die Integrale immer von links nach rechts berechnest, also obere Grenze immer größer ist als die untere Grenze, dann sind die Integrale der Flächen unter der x-Achse immer negativ und über der x-Achse immer positiv.

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19:35 Uhr, 16.09.2011

Würdest du mir das vielleicht an einem Beispiel zeigen?

DmitriJakov aktiv_icon

19:51 Uhr, 16.09.2011

Nimm das Beispiel

f (x) = x^{2} - 1

. Die Stammfunktion ist

F (x) = \frac{1}{3} x^{3} - x

Wenn Du das Integral von

- 2

bis

- 1

rechnest, dann hast Du Die Fläche im 2. Quadranten:

F (- 1) - F (- 2) = \frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3} - (- 1) - (\frac{1}{3} {(- 2)}^{3} - (- 2))

= - \frac{1}{3} + 1 - (- \frac{8}{3} + 2) = \frac{2}{3} + \frac{8}{3} - 2 = \frac{10}{3} - \frac{6}{3} = \frac{4}{3}

Wenn Du das Integral von

- 1

bis 0 rechnest, dann hast Du Die Fläche im 3. Quadranten:

F (0) - F (- 1) = 0 - (\frac{1}{3} \cdot {(- 1)}^{3} - (- 1)) = - (- \frac{1}{3} + 1) = \frac{1}{3} - 1 = - \frac{2}{3}

Wenn Du von rechts nach links integrieren würdest, dann wäre im ersten Fall:

F (- 2) - F (- 1) = - (F (- 1) - F (- 2))

Das Vorzeichen würde sich also umkehren.

Deine Verwirrung kommt aber wahrscheinlich daher:
Im dritten und im 4. Quadranten hast Du negative y-Werte. ABER: wenn Du von links nach rechts integrierst hast Du immer positive x-Intervalle, auch im 3. Quadranten.

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20:42 Uhr, 16.09.2011

Ich hab im 4. Quadranten positive y-Werte...

DmitriJakov aktiv_icon

20:44 Uhr, 16.09.2011

Rechnung?

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21:16 Uhr, 16.09.2011

Die y-Werte im 4. Quadrant sind doch immer postiv.

DmitriJakov aktiv_icon

21:21 Uhr, 16.09.2011

Kann es sein, dass Du jetzt die Zählung der Quadranten um Uhrzeigersinn machst? Es wird aber gegen den Uhrzeigersinn gezählt: de.wikipedia.org/wiki/Quadrant

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22:00 Uhr, 16.09.2011

Stimmt ! Ich schau mal, ob ich das verstehe.

DmitriJakov aktiv_icon

22:20 Uhr, 16.09.2011

Ich wünsch Dir viel Erfolg dabei :-)

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