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Integralrechnung mit negativer Integrationsstelle

Schüler Fachgymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: , Flächeninhalt, Graph, Integral, Integrationsstelle, Negativ, x- Achse

Carina93 aktiv_icon

12:58 Uhr, 03.10.2010

Hallo :-)
Ich schreibe morgen eine Matheklausur

(12

. Klasse Fachgymnasium, LK)
und bin eben einmal die Übungsaufgaben durchgegangen, die wir bekommen haben.
Habe soweit keine Probleme, AUßER:
wenn eine der Integrationsstellen negativ ist.
Dann kommt immer ein ganz anderes Ergebnis raus.
Muss ich dann einfach die negative Integrationsgrenze, die ja die kleinere der beiden ist, und somit eigentlich die UNTERE Integrationsgrenze ist, als obere einsetzen?
Dann würde das Ergebnis nämlich stimmen.
Aber.. ist das einfach erlaubt?
Oder muss man das anders rechnen?
Danke im Voraus :-)
Liebe Grüße!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Flächeninhalte
Flächenmessung
Kreis: Umfang und Flächeninhalt
Kreisteile: Berechnungen am Kreis

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

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13:11 Uhr, 03.10.2010

hallo,

eigentlich muss man immer die untere zahl als untere grenze und die obere zahl als obere einsetzen... egal welche zahl die kleinere ist...

der fehler muss also woanders sitzen. vielleicht einfach ein vorzeichenfehler? mehr kann man sagen wenn du deine rechnung hier eintippst.

lg

Carina93 aktiv_icon

13:21 Uhr, 03.10.2010

Okay, hier ist meine Rechnung:

Ich möchte die Fläche zwischen

f (x)

und der x-Achse bestimmen.

f (x) = 2 x^{3} - 4 x^{2} - 10 x + 12

Da der Flächeninhalt teils oberhalb, teils unterhalb der x-Achse ist, muss ich getrennt zwei Teilflächen berechnen.

Nun habe ich die Nullstellen bestimmt, da sie ja die Integrationsgrenzen sind:
XN1

= - 2

XN2

= 1

XN3

= 3

Die sind auch korrekt, habe es mit dem GTR überprüft :-)
So und nun kommt mein Problem.

Habe die Stammfunktion

F (x)

bestimmt:

\frac{1}{2} x^{4} - \frac{4}{3} x^{3} - 5 x^{2} + 12 x

Und für die Integrationsgrenzen zunächst 1 (obere) und

- 2

(untere) und danach 3 (obere und 1 (untere) eingesetzt.

Für

A 1

habe ich

7,7667

raus, aber eigentlich müsste

31,5

rauskommen.
Bei

A 2

stimmt das Ergebnis

(10,666)

nur, wenn ich die Integrationsgrenzen vertausche.

CKims aktiv_icon

13:33 Uhr, 03.10.2010

\int_{- 2}^{1} f (x) d x = {[\frac{1}{2} x^{4} - \frac{4}{3} x^{3} - 5 x^{2} + 12 x]}_{- 2}^{1}

= (\frac{1}{2} 1^{4} - \frac{4}{3} 1^{3} - 5 \cdot 1^{2} + 12 \cdot 1) - (\frac{1}{2} {(- 2)}^{4} - \frac{4}{3} {(- 2)}^{3} - 5 {(- 2)}^{2} + 12 (- 2))

= (\frac{1}{2} - \frac{4}{3} - 5 + 12) - (\frac{1}{2} 16 + \frac{4}{3} 8 - 5 \cdot 4 - 24)

= \frac{1}{2} - \frac{4}{3} + 7 - (8 + \frac{32}{3} - 20 - 24)

= \frac{1}{2} - \frac{4}{3} + 7 - 8 - \frac{32}{3} + 20 + 24

= \frac{1}{2} - \frac{4}{3} - \frac{32}{3} + 43

= \frac{1}{2} - \frac{4}{3} - \frac{32}{3} + 43

= \frac{1}{2} - \frac{36}{3} + 43

= \frac{1}{2} - 12 + 43

= \frac{1}{2} + 31 = 31.5

jetzt noch die andere...

CKims aktiv_icon

13:42 Uhr, 03.10.2010

\int_{1}^{3} f (x) d x = {[\frac{1}{2} x^{4} - \frac{4}{3} x^{3} - 5 x^{2} + 12 x]}_{1}^{3}

= (\frac{1}{2} 3^{4} - \frac{4}{3} 3^{3} - 5 \cdot 3^{2} + 12 \cdot 3) - (\frac{1}{2} 1^{4} - \frac{4}{3} 1^{3} - 5 \cdot 1^{2} + 12 \cdot 1)

= (\frac{1}{2} 81 - \frac{4}{3} 27 - 5 \cdot 9 + 12 \cdot 3) - (\frac{1}{2} - \frac{4}{3} - 5 + 12)

= (\frac{81}{2} - 4 \cdot 9 - 5 \cdot 9 + 12 \cdot 3) - (\frac{1}{2} - \frac{4}{3} - 5 + 12)

= (\frac{81}{2} - 36 - 45 + 36) - (\frac{1}{2} - \frac{4}{3} + 7)

= \frac{81}{2} - 45 - \frac{1}{2} + \frac{4}{3} - 7

= \frac{80}{2} + \frac{4}{3} - 52

= 40 + \frac{4}{3} - 52 = \frac{4}{3} - 12 = \frac{4}{3} - \frac{36}{3} = - \frac{32}{3} = - 10 . \bar{6}

bei der integration kommen "negative" ergebnisse raus, wenn die flaeche unter der

x

achse ist. hiervon interessiert dich also nur der betrag... also ist das ergebnis

10 . \bar{6}

Carina93 aktiv_icon

14:31 Uhr, 03.10.2010

Ui, danke erstmal!
Bei der 1. Rechnung hatte ich wirklich nur ein Vorzeichendreher, die 2. muss ich nochmal genauer durchgehen!

Hab noch ne Aufgabe gefunden, wo mein Problem noch deutlicher wird...
Da soll ich die Fläche zwischen zwei Funktionen ausrechnen.

f 1 (x) = x^{2} + \frac{5}{2} x - 4

f 2 (x) = - \frac{1}{2} x^{2} + x - 1

dann hab ich die Differenzfunktion gebildet:

d (x) = 1,5 x^{2} + 1,5 x - 3

und die NST bestimmt, weil es ja die Integrationsgrenzen sind:
XN1=

1,

NX2=

- 2

Dann habe ich davon die Stammfunktion bestimmt

(\frac{1}{2} x^{3} + \frac{3}{4} x^{2} - 3 x)

und die Integrationsgrenzen 1 und

- 2

genommen.

F (1) = - 1,75

F (2) = 5

EIGENTLICH müsste ich ja

F (1) - F (- 2)

rechnen.
Mein Ergebnis muss aber

6,75

sein. Und das erhalte ich nur wenn ich

F (- 2) - F (1)

rechne, also die Integrationsgreznen vertausche

\frac{:}{}

Ist das erlaubt?

hagman aktiv_icon

12:49 Uhr, 04.10.2010

Noch eigentlicher willst du nicht

\int f (x) d x,

sonder

\int | f (x) | d x

berechnen. Solange

d (x)

im Integratoinsbereich einheitliches Vorzeichen hat (und das erreichst du ja gerade durch Zerlegen des Intervalls an den Nullstellen) gilt

\int_{a}^{b} | f (x) | d x = | \int_{a}^{b} f (x) d x | = | F (b) - F (a) |

und das ist halt je nachdem

= F (b) - F (a)

oder

= F (a) - F (b)

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