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Integralrechnung mit vorgegebenem Flächeninhalt

Schüler , 12. Klassenstufe

Tags: bestimmen, Flächeninhalt, Integral

-Vany- aktiv_icon

18:59 Uhr, 20.08.2008

Hier meine Aufgabe bei der ich nicht weiter komme:

f(x)=kx^2+9

Der Flächeninhalt A ist

6 \sqrt{3}

Gesucht ist

k

Habe keine Ahnung wie ich damit anfangen soll. Wer kann mir helfen?

(sorry wenn mein text nicht richtig angegeben ist)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Flächeninhalte
Flächenmessung
Kreis: Umfang und Flächeninhalt
Kreisteile: Berechnungen am Kreis

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

MBler07 aktiv_icon

19:25 Uhr, 20.08.2008

Hi

So ist die Aufgabe nicht lösbar. Da fehlt eine Einschränkung für den Flächeninhalt

(z . B

. mit der x-Achse, ein Intervall,...)

Was weißt du denn so über die Integralrechnung?

Grüße

-Vany- aktiv_icon

19:37 Uhr, 20.08.2008

ja klar, sorry. hab vergessen zu sagen, dass die fläche zwischen der x-achse und dem gesuchten graphen auszurechnen ist.

aber fehlen da nicht noch angaben zum intervall?

also, stammfunktion haben wir noch nicht definiert, aber wir benutzen es.

MBler07 aktiv_icon

19:49 Uhr, 20.08.2008

Also da kein Intervall angegeben ist, machen wir uns selber eins. Das einzig sinnvolle ist meiner Meinung nach die Annahme, dass

k

negativ und die Parabel somit nach unten geöffnet ist. Damit wären die Intervallgrenzwn die Nullstellen.

Kannst du denn die Stammfkt dieser Funktion bestimmen?

-Vany- aktiv_icon

19:54 Uhr, 20.08.2008

Weiß nicht wie ich das mit der Stammfunktion richtig aufschreibe:

F (x) = \frac{1}{3} k (x^{3}) + 9 x

Also muss ich um das Intervall zu erhalten, die Nullstellen berechnen. Wie geht das denn dann wenn

k

vor

x^{2}

steht?

Aleph aktiv_icon

19:55 Uhr, 20.08.2008

Hier also die Lösung:

$f (x) = k \cdot x^{2} + 9$

Flächeninhalt:

$A = k \cdot \int_{a}^{b} x^{2} d x + 9 \cdot \int_{a}^{b} 1 d x = \frac{k}{3} \cdot {[x^{3}]}_{a}^{b} + 9 \cdot {[x]}_{a}^{b}$

$A = k \cdot (\frac{1}{3} \cdot b^{3} - \frac{1}{3} \cdot a^{3}) + 9 \cdot (b - a) = 6 \cdot \sqrt{3}$

Ermittlung von k:

$k = \frac{6 \cdot \sqrt{3} - 9 \cdot (b - a)}{\frac{1}{3} \cdot (b^{3} - a^{3})} = 27 \cdot \frac{a - b + \sqrt{\frac{4}{3}}}{b^{3} - a^{3}}$

Allgemeine Lösung: K ist eine Funktion von a und b, also: k(a,b)

Spezielle Lösung (Beispiel):

Setze a=0. Dann folgt:

$k = 27 \cdot \frac{\sqrt{\frac{4}{3}} - b}{b^{3}}$ mit $b \leq \sqrt{\frac{4}{3}}$

Setze b=1. Dann folgt:

$k = 27 \cdot (\frac{2}{\sqrt{3}} - 1)$

-Vany- aktiv_icon

20:02 Uhr, 20.08.2008

oh je, da soll ich durchblicken?
was bedeuten die eckigen klammern?

das versteh ich leider nicht...

MBler07 aktiv_icon

20:05 Uhr, 20.08.2008

@"aleph
Die Idee mit der Abhängigkeit von weiteren Variablen ist auch gut.
Anonsten ist deine Lösung aber nicht das, was ich unter "Zusammenarbeit mit anderen erstellen" verstehe.

@Vany
Wenn du trotzdem meinen Weg weitergehen willst (ich finde die Lösung von

ℵ

besser):
Du kannst

k

wie eine Konstante/Zahl behandeln und entsprechend die Nullstellen berechnen.

-Vany- aktiv_icon

20:11 Uhr, 20.08.2008

ok, mit abc-formel (die ich sonst nie anwende):

x = \frac{36}{k}

oder

x = - (\frac{36}{k})

dann wäre das das intervall wenn ich es richtig ausgerechnet habe

MBler07 aktiv_icon

20:47 Uhr, 20.08.2008

Wie kommst du darauf?

k \cdot x^{2} + 9 = 0

k \cdot x^{2} = - 9

x^{2} = - \frac{9}{k}

x = \pm \sqrt{- \frac{9}{k}}

da wir

k

ja negativ annehmen, kürzt sich da minus später wieder raus.

Zu den eckigen Klammern:
Das ist die Standardnotation für Stammfkt und Intervalle.

Wie würdest du Intervalle in deine Stammfkt einsetzen?

-Vany- aktiv_icon

21:38 Uhr, 20.08.2008

na klar, so einfach hab ich gar nicht gedacht ;-)

ich würde dann schreiben:

(\frac{1}{3} k {(\sqrt{- \frac{9}{k}})}^{3} + 9 \cdot \sqrt{(- \frac{9}{k})}) - (\frac{1}{3} k \cdot {(- \sqrt{- \frac{9}{k}})}^{3} + 9 \cdot (- \sqrt{- \frac{9}{k}}))

stimmt das so?

was meintest du kürzt sich wo weg? zusammenfassen ist wirklich nicht meine stärke. hätte bisher immer einen cas-rechner der das für mich gemacht hat...

LG

MBler07 aktiv_icon

21:56 Uhr, 20.08.2008

Dann ist es ja gut, dass du jetzt keinen CAS Rechner mehr hast. Die Dinger sind beim lernen nicht gerade hilfreich.

Klar kannst du zusammenfassen:

\frac{1}{3} \cdot k \cdot {(\sqrt{- \frac{9}{k}})}^{3} + 9 \cdot \sqrt{- \frac{9}{k}} + \frac{1}{3} \cdot k \cdot {(\sqrt{- \frac{9}{k}})}^{3} + 9 \cdot \sqrt{- \frac{9}{k}}

\frac{2}{3} \cdot k \cdot {(\sqrt{- \frac{9}{k}})}^{3} + 18 \cdot \sqrt{- \frac{9}{k}}

Und dann mit dem gegebenen Flächeninhalt gleichsetzen:

\frac{2}{3} \cdot k \cdot {(\sqrt{- \frac{9}{k}})}^{3} + 18 \cdot \sqrt{- \frac{9}{k}} = 6 \cdot \sqrt{3}

Kommst du damit erstmal weiter?
Wird allerdings ziemlich kompliziert.

Mein CAS kommt auf

k = - 48 :)

Wobei es als Alternative natürlich auch immer noch die Lösung von

ℵ

gibt...

Edit: Mit dem wegkürzen meinte ich das minus unter der Wurzel.

-Vany- aktiv_icon

22:03 Uhr, 20.08.2008

- 48

? das ist aber ne doofe zahl ;-)
ich war 2 jahre lang in einem CAS-Kurs und die Klausuren waren auch auf den CAS abgestimmt. Jetzt mach ich LK und bin sicherlich nicht die Leuchte in Mathe (wie man sicherlich gerade merkt).

vielen dank für deine hilfe, ich werde das jetzt mal weiterrechnen und mir deine lösungen nebenbei ansehen. hoffe, dass ich dann damit klar komme.
danke nochmal!
LG

m-at-he

00:41 Uhr, 22.08.2008

Hallo -Vany-,

leider kann ich keiner der beiden Lösungen zustimmen. Hier die Begründungen:

Lösung von

ℵ :

Die Lösung ist unvollständig. In dieser Lösung wird die Fläche gleich dem Integral gesetzt, das ist aber nur dann korrekt, wenn die Funktion im gesamten Intervall

[a; b]

keine negativen Werte annimmt. Was hier also fehlt, sind Fallunterscheidungen und Beschränkungen! Eine vollständige Lösung dürfte sehr aufwendig werden, daß diese von euch verlangt würde, halte ich nicht wirklich für möglich. Diese Lösung enthält für

k

zwei freie Parameter und mittels dieser müßten die Nullstellen im Intervall ermittelt werden. Da wünsche ich viel Spaß beim Rechnen!

Lösung von MBler07:
Da scheint mir der hier verfolgte Ansatz der wesentlich zielführendere zu sein und die Fläche wurde zwischen den Nullstellen als Intervallgrenzen vorgegeben. Allerdings unterlaufen MBler07 kleinere Fehler:

1. Es schreibt (Post vom

20.08

. um

19 : 49

Uhr), "Das einzig sinnvolle ist meiner Meinung nach die Annahme, dass

k

negativ und die Parabel somit nach unten geöffnet ist." Die so formulierte Annahme ist falsch. Es wird nicht verlangt, daß das Integral einen bestimmten Wert hat, sondern daß die Fläche diesen Wert annimmt. Damit könnte auch eine nach oben geöffnete Parabel eine solche Fläche liefern. Aber betrachten wir uns die Funktion für nichtnegative

k

mal etwas genauer:

f_{k} (x) = k \cdot x^{2} + 9

. Wenn

k

nicht negativ ist, dann ist

k \cdot x^{2}

ebenfalls nicht negativ. Zusammen mit dem Summanden 9 muß man an dieser Stelle feststellen, daß für nichtnegative

k

keine Nullstellen existieren können und somit keine Intervallgrenzen existieren! Mit anderen Worten: An dieser Stelle weiß man, daß der Ansatz nur für

k < 0

zu einem Ergebnis führt. Damit ist

k < 0

keine Annahme mehr, sondern ein Fakt!

Damit ist natürlich auch der Satz von MBler (Post vom

20.08

20 : 47

Uhr): "da wir

k

ja negativ annehmen, kürzt sich da

[

in der Wurzel

]

1) minus später wieder raus" (Anmerkung 1 siehe Edit im Post vom

20.08

21 : 56

Uhr) so nicht korrekt, richtig wäre: "da

k

ja negativ ist, kürzt sich in der Wurzel minus später wieder raus"

Aber das mit dem negativen

k

sind nur Unschönheiten, die die Lösung nicht wirklich falsch werden lassen. Falsch wird sie nämlich erst am Ende (Post vom

20.08

21 : 56

Uhr: "Mein CAS kommt auf

k =

-48". Wenn ich davon ausgehe, das MBler07's CAS richtig rechnet, dann hat er wohl etwas falsches eingegeben. Machen wir doch mal die Probe mit den

- 48 :

\frac{2}{3} \cdot k \cdot {(\sqrt{- \frac{9}{k}})}^{3} + 18 \cdot \sqrt{- \frac{9}{k}}

= \frac{2}{3} \cdot (- 48) \cdot {(\sqrt{- \frac{9}{- 48}})}^{3} + 18 \cdot \sqrt{- \frac{9}{- 48}}

= (- 32) \cdot {(\sqrt{\frac{3}{16}})}^{2} \cdot \sqrt{\frac{3}{16}} + 18 \cdot \sqrt{\frac{3}{16}}

= (- 32) \cdot \frac{3}{16} \cdot \sqrt{\frac{3}{16}} + 18 \cdot \sqrt{\frac{3}{16}}

= - 6 \cdot \sqrt{\frac{3}{16}} + 18 \cdot \sqrt{\frac{3}{16}}

= 12 \cdot \sqrt{\frac{3}{16}}

= 12 \cdot \frac{1}{4} \cdot \sqrt{3}

= 3 \cdot \sqrt{3}

\neq 6 \cdot \sqrt{3}

Berechnen wir doch

k

mal ohne CAS und dafür richtig:

\frac{2}{3} \cdot k \cdot {(\sqrt{- \frac{9}{k}})}^{3} + 18 \cdot \sqrt{- \frac{9}{k}} = 6 \cdot \sqrt{3}

\frac{2}{3} \cdot k \cdot {(\sqrt{- \frac{9}{k}})}^{2} \cdot \sqrt{- \frac{9}{k}} + 18 \cdot \sqrt{- \frac{9}{k}} = 6 \cdot \sqrt{3}

\frac{2}{3} \cdot k \cdot (- \frac{9}{k}) \cdot \sqrt{- \frac{9}{k}} + 18 \cdot \sqrt{- \frac{9}{k}} = 6 \cdot \sqrt{3}

- 6 \cdot \sqrt{- \frac{9}{k}} + 18 \cdot \sqrt{- \frac{9}{k}} = 6 \cdot \sqrt{3}

12 \cdot \sqrt{- \frac{9}{k}} = 6 \cdot \sqrt{3}

\sqrt{- \frac{9}{k}} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3}

\sqrt{- \frac{9}{k}} = \sqrt{\frac{3}{4}}

- \frac{9}{k} = \frac{3}{4}

k = - 12

Ich will das hier nicht noch einmal vorrechnen wie für die

- 48,

aber bei

k = - 12

kommt am Ende tatsächlich

6 \cdot \sqrt{3}

heraus!

Für

k \geq 0

könnte man, nicht als Bestandteil der Lösung, sondern nur so als Ergänzung, noch den Ansatz von

ℵ

hernehmen und wüßte, daß

k

eine nichtnegative Zahl sein muß! Dann hat man aber an a und

b

diverse Forderungen zu stellen. Mit dem Wissen, daß es in dem Intervall

[a; b]

für

k \geq 0

keine Nullstellen gibt, können wir uns auch der Lösung von

ℵ

bedienen und müssen nicht massig Fallunterscheidungen durchführen. Wir nehmen (wie

ℵ

auch) an, daß

a < b

gilt und wir wissen, daß das

k (a, b

) von

ℵ

nicht negativ werden darf. Es gilt also:

0 \leq 27 \cdot \frac{a - b + \sqrt{\frac{4}{3}}}{b^{3} - a^{3}};

wegen

a < b

folgt

b^{3} - a^{3} > 0,

also dürfen wir mit

\frac{b^{3} - a^{3}}{27}

multiplizieren und brauchen keine Relationszeichenumkehr beachten!

0 \leq a - b + \sqrt{\frac{4}{3}}

b \leq a + \sqrt{\frac{4}{3}} = a + \frac{2}{3} \cdot \sqrt{3}

Mit anderen Worten: Für

k \geq 0

gibt es keine festen Intervallgrenzen in Form von Nullstellen. Man kann für ein beliebiges

a \in ℝ

als untere Intervallgrenze ein beliebiges

b \in (a; \frac{2}{3} \cdot \sqrt{3}]

als obere Intervallgrenze wählen und erhält dafür ein

k (a, b) \geq 0,

für das die Fläche

6 \cdot \sqrt{3}

beträgt.

Aber wie gesagt, das Ganze nur als Ergänzung und nicht als Lösung. Denn sonst muß man sich fragen lassen, wieso man nicht für negative

k

auch allgemeine Grenzen kleiner als die kleinere Nullstelle und größer als die größere Nullstelle zuläßt und dann die Lösung in Fallunterscheidungen (wenn ich mich nicht verzählt habe sind das 6 Fälle) durchführt und dann ist man schwuppdiwupp bei der vervollständigten Lösung von

ℵ .

Ich denke, daß die Lösung von MBler07 (mit Beseitigung der Unschönheiten und der Korrektur des Ergebnisses) die geforderte Lösung der Aufgabe ist.

-Vany- aktiv_icon

18:14 Uhr, 22.08.2008

Hallo m-at-he,

habe auch rausgefunden, dass das ergebnis nicht stimmen kann. habe deinen langen text noch nicht gelesen und die aufgabe auch noch nicht nochmals gerechnet.

werde mir deine begründung noch durchlesen und es dann nochmal versuchen.

danke!
lg

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