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Integration von Brüchen unter Wurzeln

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Bruch, Brüche, Integral, Integration, Summe, Wurzel

Mira1234 aktiv_icon

01:06 Uhr, 12.02.2016

Ich müsste folgendes Integral lösen:

Integral

\sqrt{1 + \frac{1}{x}} d x

Was rauskommt weiß ich bereits, nur hab ich keine Ahnung, wie ich darauf kommen soll...
Genauso wie bei diesem Integral:

e^arcsinx

d x

Die Methoden der Substitution und partiellen Integration sind mit bekannt, nur weiß ich nicht, wie ich hier vorgehen soll.
Ich dachte, es wäre vielleicht nützlich beim zweiten Integral mit 1 zu multiplizieren.

Danke im Vorraus

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
n-te Wurzel
Wurzel (Mathematischer Grundbegriff)
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Addition von Brüchen
Brüche - Einführung
Dezimalbrüche - Einführung
Multiplikation und Division von Brüchen
Subtraktion von Brüchen

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

pleindespoir aktiv_icon

03:03 Uhr, 12.02.2016

Vorbereitung:

\int \sqrt{1 + \frac{1}{x}} d x

\int \frac{1}{x} \cdot \sqrt{x^{2} + x} d x

IPanic aktiv_icon

11:50 Uhr, 12.02.2016

2)

\int e^{a r c sin (x)} d x

Substitutioniere

u = a r c sin (x),

dann ist

x = sin (u)

x' = cos (u) = \frac{d x}{d u} \Leftrightarrow cos (u) \cdot d u = d x

\int e^{a r c sin (x)} d x = \int e^{u} \cdot cos (u) \cdot d u

Ab hier dann 2 mal partiell integrieren.

\int e^{u} \cdot cos (u) \cdot d u = [e^{u} \cdot cos (u)] + \int e^{u} \cdot sin (u) d u = [e^{u} \cdot cos (u)] + [e^{u} \cdot sin (u)] - \int e^{u} \cdot cos (u) d u

\Leftrightarrow \int e^{u} \cdot cos (u) \cdot d u = \frac{[e^{u} \cdot cos (u)] + [e^{u} \cdot sin (u)]}{2}

Respon

12:23 Uhr, 12.02.2016

\int \sqrt{1 + \frac{1}{x}} d x =

???
Partielle Integrationm

\int 1 \cdot \sqrt{1 + \frac{1}{x}} d x = x \cdot \sqrt{1 + \frac{1}{x}} - \int x \cdot \frac{1}{2 \cdot \sqrt{1 + \frac{1}{x}}} \cdot (- \frac{1}{x^{2}}) d x =

= x \cdot \sqrt{1 + \frac{1}{x}} + \int \frac{1}{2 \cdot \sqrt{x^{2} + x}} d x = x \cdot \sqrt{1 + \frac{1}{x}} + {sinh}^{- 1} (\sqrt{x})

. .

. sofern

x > 0

( Die Schreibweise

{sinh}^{- 1} (...)

ist nicht korrekt, lässt sich aber leichter schreiben. )

Mira1234 aktiv_icon

17:40 Uhr, 12.02.2016

Okay, danke.
Jetzt ist das viel klarer.
Ich bin bei dem zweiten Integral einfach nicht auf den Teil mit dem Sinus gekommen, ab da ist es eigentlich kein Problem mehr.
Nur fällt es mir schwer, solche Dinge zu erkennen.
Gibt es da irgendwelche Tricks, um zu vermeiden so "stecken zu bleiben"?

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