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Iterationsvorschrift des Newton-Verfahrens

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Tags: Eigenwertproblem, Iterationsvorschrift, Jacobi-Matrix, Newton-Verfahren, Nullstellen

Olli23 aktiv_icon

22:29 Uhr, 15.12.2012

Guten Abend!
Ich sitze schon seit ca. ner Woche an folgender Aufgabe:

Die Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren einer Matrix

A \in ℝ

zur Lösung des Eigenwertproblems

A x = λ x, x \neq 0

, kann mittels des (modifizierten) Newton-Verfahrens realisiert werden. Hierfür lässt sich das Eigenwertproblem mittels der Funktion

F (x, λ) = (\begin{array}{rcl} A x - λ x \\ 0, 5 (λ^{2} - x^{T} x) \end{array})

als Nullstellenproblem der Form

F (x, λ) = 0

formulieren, d.h. insbesondere gilt hier

∣ ∣ x ∣ ∣_{2} = λ

(a) Bestimmen Sie die Iterationsvorschrift des Newton-Verfahrens zur Lösung von

F (x, λ) = 0

. Warum ist die Jacobi-Matrix stets invertierbar?

Ich komme einfach zu keiner Lösung. Kann mir vielleicht jemand helfen, das wäre wirklich super!

Grüße Olli

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Nullstellen (Mathematischer Grundbegriff)
Vielfachheit einer Nullstelle (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Allgemeine Exponentialfunktion - Fortgeschritten
Allgemeine Sinusfunktion
Newton-Verfahren
Nullstellen
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Olli23 aktiv_icon

00:44 Uhr, 16.12.2012

Die Formel für die Iterationsvorschrift kann ich auch noch angeben:

x_{k + 1} = x_{k} - \frac{f (x, y)}{f ʹ (x, y)} .

Bei mir hapert es aber schon an der Ableitung...

pwmeyer aktiv_icon

10:41 Uhr, 16.12.2012

Hallo,

F

ist ja jetzt eine Abbildung von

ℝ^{n + 1} \to ℝ^{n + 1}

(wenn A eine (n,n)-Matrix ist). Die Ableitung ist ja dann die Jacobi-Matrix, besteht also genau aus den partiellen Ableitungen der verschiedenen Komponenten.

Übrigens musst Du nochmal Deine Beschreibung des Newton-Verfahrens überprüfen.

Gruß pwm

Olli23 aktiv_icon

11:39 Uhr, 16.12.2012

Iterationsvorschrift:

x_{k + 1} = x_{k} - \frac{F (x, λ)}{F ʹ (x, λ)}

Also meine Jacobi-Matrix sieht bisher so aus:

F ʹ (x, λ) = (\begin{array}{rcl} A - λ & - x \\ ? ? ? & λ \end{array})

Bei der Ableitung von

\frac{1}{2} (λ^{2} - x^{T} x)

nach x fällt ja der Teil vor dem Minus weg, also muss ich die Ableitung von

- \frac{1}{2} x^{T} x

bestimmen. Aber wie mache ich das in diesem Fall?

LG

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