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Komplexer Cosinus

Schüler Ausbildungsstätte,

Tags: Komplexe Zahlen, Kosinus

SoNyu

19:37 Uhr, 22.09.2013

Hi,

ich hätte eine Frage zu folgender Aufgabe:

Für welche

z \in ℂ

gilt

\cos (z) \in ℝ

\cos (z) \in [- 1, 1]

\cos (z) = 1

Irgendwie weiß ich bei keinem Teil so richtig wie ich vorzugehen habe.

Also der Cosinus ist für komplexe Zahlen ja so definiert:

\cos (z) := \frac{1}{2} (e^{i z} + e^{- i z})

Jetzt muss ich ja eigentlich berechnen, für welche komplexe Zahlen

z

dieser reelle Werte annimmt, also der imaginär Teil gleich Null ist.

Wenn ich

z

durch

z = a + i b

ersetze, erhalte ich:

\frac{1}{2} (e^{i (a + i b)} + e^{- i (a + i b)} = \frac{1}{2} (e^{i a} e^{- b} + e^{- i a} e^{- b})

b

ist in dieser Schreibweise ja nun eine reelle Zahl, und

a

ist ja eigentlich auch reell.

Für

x \in ℝ

gilt ja:

e x p (i x) = c o s (x) + i \sin (x)

Also:

(Nachtrag: Okay, hier sollte der erste Vorzeichenfehler passiert sein. Dann ist der Rest natürlich für den Müll.)

\frac{1}{2} ((\cos (a) + i \sin (a)) e^{- b} + (\cos (a) - i \sin (a)) e^{- b})

Na ja, jetzt kann ich

e^{- b}

ausklammern:

\frac{1}{2} (e^{- b} (\cos (a) + i \sin (a) + \cos (a) - i \sin (a))

e^{- b} \cos (a)

Wäre also immer reell.

Irgendwie habe ich das Gefühl als hätte ich irgendwas übersehen, oder mein Ansatz ist kompletter Müll.

Ich würde gerne erstmal diese Teilaufgabe beenden. Danach würde ich mich dann an die anderen Aufgaben machen.

Meine Frage ist also:

Kann ich diese Aufgabe so lösen, oder ist es komplett falsch/teilweise falsch.
Über Verbesserungen, oder Ratschläge würde ich mich freuen.

Vielen Dank im Voraus.

Edit:

Vielleicht kann ich es ja so reparieren?

\frac{1}{2} (e^{i (a + i b)} + e^{- i (a + i b)} = \frac{1}{2} (\cos (a + i b) + i \sin (a + i b) + \cos (a + i b) - i \sin (a + i b)

= \cos (a + i b)

Und dies ist reell, wenn

b = 2 k π

mit

k \in ℤ

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kosinus (Mathematischer Grundbegriff)
Trigonometrie (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige trigonometrische Werte
Kosinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Kosinussatz (Mathematischer Grundbegriff)
Additionstheoreme
Rechenregeln Trigonometrie

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Definition von Sinus, Kosinus und Tangens
Sinus und Kosinus für beliebige Winkel

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22:31 Uhr, 22.09.2013

Hallo!

Hier ist der Vorzeichenfehler (Vorzeichen des letzten b):

$\frac{1}{2} (e^{i (a + i b)} + e^{- i (a + i b)}) = \frac{1}{2} (e^{i a} e^{- b} + e^{- i a} e^{b})$

Wenn du jetzt weitermachst kommst du auf ... :

$= \frac{1}{2} [(\cos (a) + i \sin (a)) e^{- b} + (\cos (a) - i \sin (a)) e^{b}]$

Davon der Imaginärteil:

$\frac{1}{2} \sin (a) \cdot (e^{- b} - e^{b})$

Und das ist =0 für zwei Fälle:

1.) a = k*PI, k= 0,-1,1,-2,2, ...

und/oder

2.) b = 0

Also cos(z) reell, falls z reell oder Re(z)=k*PI

SoNyu

22:34 Uhr, 22.09.2013

Danke für deine Antwort.

Ja, dieser Vorzeichenfehler war mir später auch aufgefallen.

Leider versteh ich nicht ganz wie du auf den Imaginär Teil:

\frac{1}{2} \sin (a) \cdot (e^{- b} - e^{b})

kommst.

Edit:

Okay, ich glaube die Frage hat sich erledigt. Man sortiert einfach "alles reelle und alles imaginäre".

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22:42 Uhr, 22.09.2013

$= \frac{1}{2} [(\cos (a) + i \sin (a)) e^{- b} + (\cos (a) - i \sin (a)) e^{b}]$

...ausmultiplizieren:

$= \frac{1}{2} \cos (a) e^{- b} + \frac{1}{2} i \sin (a) e^{- b} + \frac{1}{2} \cos (a) e^{b} - \frac{1}{2} i \sin (a) e^{b}$

Davon Imaginärteil:

$\frac{1}{2} \sin (a) e^{- b} - \frac{1}{2} \sin (a) e^{b}$

$= \frac{1}{2} \sin (a) \cdot (e^{- b} - e^{b})$

SoNyu

22:48 Uhr, 22.09.2013

Leider hatte ich zu spät editiert. Mir ist nach meinem Post aufgefallen, dass meine Frage dumm war. Entschuldigung.

Die Aufgabe ist damit klar.

Könntest du mir für die Frage wann

\cos (z) \in [- 1, 1]

mit

z \in ℂ

einen kleinen Ansatz, oder nur ein Stichwort geben?
Ich versteh nämlich nicht ganz wie das gemein ist.

Also der reelle Cosinus schwankt ja nur zwischen diesen Werten.

Ich hatte auch schon an Polarkoordinaten gedacht.

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22:56 Uhr, 22.09.2013

Ok! 2 Tipps:

1. Der Cosinus einer komplexen Zahl kann auch außerhalb von [-1,1] liegen und dabei trotzdem reell sein: Stichwort: Cosinus-Hyperbolicus ^^

2. Du kannst die erste Aufgabe verwenden, denn der gesuchte Bereich ist ja wieder reell.

SoNyu

22:58 Uhr, 22.09.2013

Auf den Cosinus-Hyperbolicus kann ich leider nicht zurückgreifen, da dieser in meinem Skript nicht definiert wurde.

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23:07 Uhr, 22.09.2013

Ok, das macht nichts.

Wir wissen aber schonmal, dass die Bedingungen die man in der ersten Aufgabe rausbekommt auch in dieser Aufgabe gelten müssen.

Für jeder reelle Zahl ist der Cosinus zwischen -1 und 1. Den Fall b=0 (also z reell) muss man also nicht mehr untersuchen.

Wenn b ungleich 0 muss also automatisch bereits gelten: a = k*PI. Damit reduziert sich der Term für cos(z) schon mal gewaltig (guck auf das Ausmultiplizierte)... was bleibt denn jetzt nur noch übrig?

SoNyu

23:22 Uhr, 22.09.2013

Für

a = k π

mit

k \in ℤ

fliegt der Sinus raus, weil dieser hier seine Nullstellen hat.

Dann haben wir nur noch:

c o s (k π) e^{- b} + c o s (k π) e^{b} = c o s (k π) (e^{- b} + e^{b})

Und dieses Produkt wird nur Null wenn der Cosinus seine Nullstellen annimmt, also für

k = \frac{2 m + 1}{2}

mit

m \in ℤ

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23:27 Uhr, 22.09.2013

Das 1/2 fehlt noch.

Wir wollen ja aber herausfinden für welche werte von b das ganze zwischen -1 und 1 liegt (also betragsmäßig kleiner gleich 1 ist).

Die Nullstellen bringen da nicht viel, denn 0 ist immer zwischen -1 und 1 ...

SoNyu

23:37 Uhr, 22.09.2013

Ja, das habe ich mich ehrlich gesagt auch später gefragt warum ich unbedingt die Nullstellen wollte...
Hatte deshalb auch das 1/2 weggelassen, weil es da ja keine Rolle spielte.

∣ \frac{1}{2} \cos (k π) (e^{- b} + e^{b}) ∣ < 1

= ∣ c o s (k π) (e^{- b} + e^{b}) ∣ < 2

(e^{- b} + e^{b})

ist ja immer positiv, also kann ich dies aus dem Betrag entfernen:

= ∣ c o s (k π) ∣ (e^{- b} + e^{b}) < 2

Jetzt wüsste ich nicht wie ich weiter vorgehen soll. Wäre eine Fallunterscheidung sinnvoll?

SoNyu

23:37 Uhr, 22.09.2013

Ja, das habe ich mich ehrlich gesagt auch später gefragt warum ich unbedingt die Nullstellen wollte...
Hatte deshalb auch das 1/2 weggelassen, weil es da ja keine Rolle spielte.

∣ \frac{1}{2} \cos (k π) (e^{- b} + e^{b}) ∣ < 1

= ∣ c o s (k π) (e^{- b} + e^{b}) ∣ < 2

(e^{- b} + e^{b})

ist ja immer positiv, also kann ich dies aus dem Betrag entfernen:

= ∣ c o s (k π) ∣ (e^{- b} + e^{b}) < 2

Jetzt wüsste ich nicht wie ich weiter vorgehen soll. Wäre eine Fallunterscheidung sinnvoll?

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23:40 Uhr, 22.09.2013

Nope brauchste nicht, denn

cos(k*PI) = "-1" oder "1"

Daher: |cos(k*PI)| = 1

SoNyu

23:45 Uhr, 22.09.2013

Ah okay.
Bin in dem Thema mit Sinus und Cosinus noch zu sehr Anfänger. Deshalb sind die Nullstellen und co. für mich noch etwas neuland, so dass mir das nicht direkt auffällt.
Danke.

Verbleibt also nur noch:

e^{b} + e^{- b} < 2

Wenn ich nun mit

e^{b}

multipliziere und dann die Ungleichung

< 0

setze, erhalte ich, unter umständen nach einer Substitution

e^{b} = x

, die Ungleichung

(x - 1)^{2} < 0

Welche nie erfüllt ist, da

(x - 1)^{2}

nie negativ ist, also einen Widerspruch.

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23:52 Uhr, 22.09.2013

Jo stimmt. Genaugenommen muss man überall kleinergleich schreiben. Dann gibt es einen Fall: x = 1 bzw. e^(0). Dann wäre b jedoch gleich 0 und das hatten wir ja schon anfangs ausgeschlossen.

SoNyu

23:57 Uhr, 22.09.2013

Heißt das nun, dass

c o s (z)

immer in diesem Wertebereich liegt?
Immerhin lief es ja in beiden Betrachtungen darauf hinaus, dass

c o s (z)

reell ist bzw. den Wertebereich nicht verlässt, oder habe ich irgendwas missverstanden.

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00:10 Uhr, 23.09.2013

Stimmt schon: Wenn der cos(z) zwischen -1 und 1 liegt, so bedeutet das, dass z reell ist. Falls cos(z) also außerhalb von -1 und 1 liegt, muss z echt reell sein. Das galt es hier zu erkennen denke ich.

Wenn du zum Beispiel z = 2i einsetzt, erhälts du ungefähr 3,762. Das wäre auch genau das Ergebnis von cosh(2), also dem Cosinus-Hyperbolicus.

Dieser ist ganz ähnlich dem Cosinus definiert:

$\cosh (x) = \frac{1}{2} (e^{x} + e^{- x}) = \cos (i \cdot x)$

SoNyu

00:13 Uhr, 23.09.2013

Okay, vielen Dank.

Hättest du auch ein paar Stichworte für die letzte Frage für mich

c o s (z) = 1

Ich denke ich werde wieder auf Aufgabenteil 1 und 2 zurückgreifen müssen. ;-)
Unter umständen hatte ich hier auch an Polarkoordinaten gedacht, oder benötigt man diese nur wenn man sich im Einheitskreis bewegt?

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00:26 Uhr, 23.09.2013

Ja, kannst darauf zurückgreifen => z muss reell sein, danach ist es leicht ^^

Polarkoordinaten sind gut zur Veranschaulichung von komplexen Zahlen aber hier brauchst du das denk ich nicht.

SoNyu

00:30 Uhr, 23.09.2013

Dann muss

z = k π

sein. ^^
Wobei

k

eine ungerade ganze Zahl ist.

Wieso muss denn

z

reell sein? Weil wir in Aufgabenteil 2 herausgefunden haben, dass nur für reelle

z

wir uns überhaupt in diesem Bereich aufhalten, also [-1,1] und für Komplexe Werte ohnehin "drüber" sind?

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00:32 Uhr, 23.09.2013

Jo, aber z ist dann k*2*PI , k = 0, -1, 1, -2, 2, ...

SoNyu

00:34 Uhr, 23.09.2013

Ups, hatte oben noch verbessert, dass k ungerade sein müsste. Das ist natürlich quatsch.

Edit:

Wobei für

c o s (π) = - 1 = c o s (- π)

Okay, vielen vielen Dank für deine Hilfe.

SoNyu

01:12 Uhr, 23.09.2013

Ich hätte doch noch einmal eine Frage. Und zwar zum zweiten Aufgabneteil.

"Wenn b ungleich 0 muss also automatisch bereits gelten: a = k*PI. Damit reduziert sich der Term für cos(z) schon mal gewaltig (guck auf das Ausmultiplizierte)... was bleibt denn jetzt nur noch übrig?"

Ich verstehe im Nachhinein jetzt nicht wieso dann

a = k π

gelten muss. Dafür wird der Imaginärteil ja Null. Dann ist ja klar, dass wir eigentlich den reellen Cosinus betrachten.

Edit: Okay, auch das hat sich erledigt. Laut der Aufgabenstellung soll

\cos (z)

ja Element der reellen Zahlen sein. Oh man, es ist spät...

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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