Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Kreis, Kurvendiskussion, Ellipse

Kreis, Kurvendiskussion, Ellipse

Schüler Allgemeinbildende höhere Schulen,

Tags: 7.-Klasse, Ellipse, Kurvendiskussion

nevergiveup aktiv_icon

15:10 Uhr, 17.01.2012

Hallo,

ich bin durch einen Unfall verhindert dem Unterricht in der Schule zu Folgen (Gipsbein) und brauche deswegen dringend Hilfe für die bevorstehende Matheschularbeit, die ich trotz Abwesenheit gerne schreiben würde. Die Mitschriften aus dem Unterricht habe ich erhalten jedoch helfen die mir sehr wenig weiter.
Wir haben von unserem Professor eine Probeschularbeit bekommen mit Übungsbeispielen. Doch leider verstehe ich sehr wenig von dem, und wie gesagt, die Mitschriften wollen mir auch nicht weiter helfen.

1. Unter welchem Winkel erscheint der Kreis x²+y²+6x-2y-15=0 von jenem Punkt der Geraden

g : x - 7 y + 60 = 0

aus, der dem Kreismittelpunkt am nächsten liegt?

2.Eine Ellipse in erster Hauptlage geht durch die Punkte

P (\frac{6}{2})

und

Q (\frac{3}{- 4})

. Ermittle die Gleichung, die Koordinaten der Scheitel und der Brennpunkte und zeichne die Ellipse unter Verwendung der Scheitelkrümmungskreise und je zwei Punkte pro Quadrant.

3.

a)

Ermittle die Schnittwinkel der beiden Kurven

y =

x³+x² und

y = 2 x

b)

In welchem Punkt der Funktion

y =

4x²-5x+2 hat der Graph der Funktion die Steigung

k = - 1

c)

Bestimme die Nullstellen der Funktion

y = \frac{1}{8}

x³

- \frac{1}{2}

x²

- \frac{1}{2} x + 2

und die Gleichungen der Tangenten in den Nullstellen.

Ich wäre sehr dankbar, wenn sich jemand dafür bereiterklären würde, mir zu helfen, da ich leider ohne jegliche Hilfe nicht weiterkommen werde.

Liebe Grüße,
Lisa

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kurvendiskussion (Mathematischer Grundbegriff)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Bummerang

15:25 Uhr, 17.01.2012

Hallo,

1)

Wenn Du eine Gerade

g

hast und einen Punkt

P,

der nicht auf der Geraden liegt, welcher Punkt auf der Geraden

g

liegt dann dem Punkt

P

am nächsten? Wenn Du diesen Punkt konstruieren müßtest, wüßtest Du (hoffentlich), dass das der Lotfußpunkt von

P

auf die Gerade

g

ist. Wenn Du den Lotfußpunkt konstruiert hast und diesen mit

P

verbindest, dann hast Du das Lot

l,

mathematisch gesehen eine Strecke. In welchem Winkel steht dieses Lot auf der Geraden g? Im rechten Winkel! Wenn nun um

P

ein Kreis ist, dann ändert das Ganze nichts daran, dass der dem (nunmehr) Mittelpunkt des Kreises nächstliegende Punkt auf der Geraden der Lotfußpunkt ist und der Winkel 90° beträgt. Zumindest für diese Frage sind die Angabe der Kreis- und der Geradengleichung nur zur Verwirrung geeignet und vielleicht auch gedacht!

Bummerang

15:37 Uhr, 17.01.2012

Hallo,

2) P = (\begin{matrix} 6 \\ 2 \end{matrix}); Q = (\begin{matrix} 3 \\ - 4 \end{matrix})

allg. Gleichung für die angegebene Lage:

\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1

P

und

Q

einsetzen:

\frac{6^{2}}{a^{2}} + \frac{2^{2}}{b^{2}} = 1

\frac{3^{2}}{a^{2}} + \frac{{(- 4)}^{2}}{b^{2}} = 1

\frac{36}{a^{2}} + \frac{4}{b^{2}} = 1

\frac{9}{a^{2}} + \frac{16}{b^{2}} = 1 | \cdot 4

\frac{36}{a^{2}} + \frac{4}{b^{2}} = 1

\frac{36}{a^{2}} + \frac{64}{b^{2}} = 4 |

erste Gleichung von dieser abziehen

\frac{36}{a^{2}} + \frac{4}{b^{2}} = 1

\frac{60}{b^{2}} = 3 \Rightarrow b^{2} = 20 |

einsetzen in eine der vorherigen Gleichungen

\frac{9}{a^{2}} + \frac{16}{20} = 1

\frac{9}{a^{2}} = 1 - \frac{16}{20} = \frac{4}{20} = \frac{1}{5}

a^{2} = 45

Ellipsengleichung:

\frac{x^{2}}{45} + \frac{y^{2}}{20} = 1

Koordinaten der Scheitel: Für die Scheitel gilt

x = 0

und

y = 0

. Bei der angegebenen Lage ensprechen die "anderen" Koordinaten der Punkte den Hauptachsenlängen:

(\sqrt{45}; 0), (0; \sqrt{20}), (- \sqrt{45}; 0), (0; - \sqrt{20})

Für die Brennpunkte gibt es den Parameter

e,

der den Abstand vom Mittelpunkt darstellt:

e = \sqrt{a^{2} - b^{2}} = \sqrt{45 - 20} = \sqrt{25} = 5

Die Koordinaten der Brennpunkte bei dieser Lage sind demzufolge:

(- 5; 0), (5; 0)

Zeichnung bitte selber machen...

Bummerang

15:58 Uhr, 17.01.2012

Hallo,

3 . a)

Schnittwinkel bestimmen heißt: Schnittpunkte bestimmen, Ableitungen beider Funktionen an den Schnittpunkten bestimmen Anstiegswinkel der beiden zugehörigen Tangenten bestimmen (ohne die Tangenten selbst bestimmen zu müssen!).

f_{1} (x) = x^{3} + x^{2}

f_{2} (x) = 2 \cdot x

An einem schnittpunkt gilt, dass (bei natürlich gleichem

x)

der Funktionswert gleich ist:

f_{1} (x) = f_{2} (x)

x^{3} + x^{2} = 2 \cdot x

x^{3} + x^{2} - 2 \cdot x = 0

(x^{2} + x - 2) \cdot x = 0

x_{1} = 0

x^{2} + x - 2 = 0

x_{2,3} = - \frac{1}{2} \pm \sqrt{({(- \frac{1}{2})}^{2} + 2)}

x_{2,3} = - \frac{1}{2} \pm \sqrt{(\frac{1}{4} + \frac{8}{4})}

x_{2,3} = - \frac{1}{2} \pm \sqrt{(\frac{9}{4})}

x_{2,3} = - \frac{1}{2} \pm \frac{3}{2}

x_{2} = - \frac{1}{2} - \frac{3}{2} = - \frac{4}{2} = - 2

x_{3} = - \frac{1}{2} + \frac{3}{2} = \frac{2}{2} = 1

f_{1}' (x) = 3 \cdot x^{2} + 2 \cdot x

f_{1}' (- 2) = 3 \cdot {(- 2)}^{2} + 2 \cdot (- 2) = 3 \cdot 4 - 4 = 8 \Rightarrow tan (α_{1}) = 8 \Rightarrow α_{1} =

82,8749...°

f_{1}' (0) = 3 \cdot 0^{2} + 2 \cdot 0 = 0 \Rightarrow tan (α_{2}) = 0 \Rightarrow α_{2} =

0°

f_{1}' (1) = 3 \cdot 1^{2} + 2 \cdot 1 = 3 \cdot 1 - 1 = 2 \Rightarrow tan (α_{3}) = 2 \Rightarrow α_{3} =

63,4349...°

f_{2}

ist eine Gerade, der Anstieg ist immer 2 und der dazugehörige Winkel errechnet sich durch

tan (α_{4}) = 2 \Rightarrow α_{4} =

63,4349...°

Die Schnittwinkel sind also:

an der Stelle

x = - 2 :

|82,8749...° - 63,4349...°| = 19,44...°

an der Stelle

x = 0 :

|0° - 63,4349...°| = 63,4349...°

an der Stelle

x = 1 :

|63,4349...° - 63,4349...°| = 0°

Bummerang

16:04 Uhr, 17.01.2012

Hallo,

3 . b)

Die Frage heißt nichts anderes als: In welchem Punkt der Funktion ist der Wert der ersten Ableitung gleich

- 1

f (x) = 4 \cdot x^{2} - 5 \cdot x + 2

f' (x) = 8 \cdot x - 5

- 1 = 8 \cdot x - 5

8 \cdot x = 4

x = \frac{1}{2}

f (\frac{1}{2}) = 4 \cdot {(\frac{1}{2})}^{2} - 5 \cdot \frac{1}{2} + 2 = 4 \cdot \frac{1}{4} - \frac{5}{2} + 2 = 1 - \frac{5}{2} + 2 = 3 - \frac{5}{2} = \frac{6}{2} - \frac{5}{2} = \frac{1}{2}

Der gesuchte Punkt ist

(\frac{1}{2}; \frac{1}{2})

Bummerang

16:29 Uhr, 17.01.2012

Hallo,

hier muß man die Nullstellen ermitteln, die Ableitungen an diesen Stellen und zu guter letzt auch noch die Tangentengleichungen:

y = \frac{1}{8} \cdot x^{3} - \frac{1}{2} \cdot x^{2} - \frac{1}{2} \cdot x + 2

0 = \frac{1}{8} \cdot x^{3} - \frac{1}{2} \cdot x^{2} - \frac{1}{2} \cdot x + 2;

mich stören solche Brüche immer, deshalb multipliziere ich mal mit 8 durch

0 = x^{3} - 4 \cdot x^{2} - 4 \cdot x + 16

Da fällt mir auf, dass die Koeffizienten zu den ungeraden Potenzen von

x

im Verhältnis 1 zu

- 4

stehen und bei den Koeffizienten zu den geraden Potenzen von

x

stehen sie ebenfalls 1 zu

- 4 (- 4

16

ist ja, durch

- 4

geteilt 1 zu

- 4)

. Da ordne ich die Summanden einfach mal um und klammere etwas aus und wende die binomischen formeln an:

0 = x^{3} - 4 \cdot x - 4 \cdot x^{2} + 16

0 = x \cdot (x^{2} - 4) - 4 \cdot (x^{2} - 4)

0 = (x - 4) \cdot (x^{2} - 4)

0 = (x - 4) \cdot (x - 2) \cdot (x + 2)

Und schon haben wir die drei Nullstellen ohne Raten und ohne Polynomdivision

x_{1} = - 2

x_{2} = 2

x_{3} = 4

Jetzt die Anstiege an diesen drei Stellen:

f' (x) = \frac{3}{8} \cdot x^{2} - x - \frac{1}{2}

f' (- 2) = \frac{3}{8} \cdot {(- 2)}^{2} - (- 2) - \frac{1}{2} = \frac{3}{8} \cdot 4 + 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2} + 2 - \frac{1}{2} = \frac{2}{2} + 2 = 3

f' (2) = \frac{3}{8} \cdot 2^{2} - 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{8} \cdot 4 - 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2} - 2 - \frac{1}{2} = \frac{2}{2} - 2 = - 1

f' (4) = \frac{3}{8} \cdot 4^{2} - 4 - \frac{1}{2} = \frac{3}{8} \cdot 16 - 4 - \frac{1}{2} = 6 - 4 - \frac{1}{2} = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}

Tangentengleichungen:

y = f' (x) \cdot x + n

x = - 2 : 0 = 3 \cdot (- 2) + n \Rightarrow 0 = - 6 + n \Rightarrow n = 6 \Rightarrow y = 3 \cdot x + 6

x = 2 : 0 = (- 1) \cdot 2 + n \Rightarrow 0 = - 2 + n \Rightarrow n = 2 \Rightarrow y = - x + 2

x = 4 : 0 = \frac{3}{2} \cdot 4 + n \Rightarrow 0 = 6 + n \Rightarrow n = - 6 \Rightarrow y = \frac{3}{2} \cdot x - 6

nevergiveup aktiv_icon

20:21 Uhr, 17.01.2012

Herzlichen Dank :-)
Werde mir die Beispiele jetzt genau anschauen und danach hoffentlich alles verstehen.
Nocheinmal viele Dank für die Mühe.

LG,
Lisa

nevergiveup aktiv_icon

13:01 Uhr, 18.01.2012

Nochmals vielen lieben Dank.

Jedoch habe ich eine Frage. Ich habe gerade entdeckt, dass es auch einen Zettel gibt, mit den Lösungen, jedoch ohne Rechenvorgang.
Bei dem 2. Beispiel steht dort:

a = 3 \sqrt{5}; b = 2 \sqrt{5}; e = 5;

4x²

+

9y²=

180

e = 5

geht auch aus ihren Rechnungen hervor, jedoch die anderen nicht.
Würde mich über ihre erneute Hilfe freuen.

LG

nevergiveup aktiv_icon

13:40 Uhr, 18.01.2012

Bei

3 a)

habe ich eine Frage.
Bei den Lösungen, die ich vorhin entdeckt habe stimmen die Ergebnisse 19,44° und 63,4349..° mit den Lösungen überein, jedoch als weiteres Ergebnis steht 15,26° anstelle von 0°. Wie kommt es dazu?

lg

Bummerang

14:22 Uhr, 18.01.2012

Hallo,

nimm Dir den Rechenweg von den entdeckten Lösungen und vollziehe ihn nach. Kommst Du dann auch auf die 15,26°? Vollziehe meinen Rechenweg nach, kommst Du dann auf 0°? Es ist Deine Aufgabe, dieses Forum soll Dir helfen aber kann Dir nicht die Arbeit abnehmen, alles nachzurechnen. Ich bin im Gegensatz zu einigen Antwortern hier nicht fehlerfrei und stehe zu meinen Fehlern. Wenn Du einen Fehler findest, dann ist das

O . K .,

schreib einfach hier rein, welche Stelle falsch ist und ich werde es bei Gelegenheit korrigieren.

PS: Ich habe mir die beiden Funktionen angesehen, 0° stimmt wirklich nicht, also versuche meinen Weg nachzuvollziehen und finde den Fehler! Oder schreibe die gefundene Lösung einfach ab...

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

964069

963679

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?