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Kurvediskussion u. Steckbriefaufgabe LK Klausur

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: 12. Klasse, Kurvendiskussion, Leistungskurs, Mathematik, Steckbriefaufgabe

TiM3WaLK aktiv_icon

14:42 Uhr, 11.09.2008

Hi, ich hab ein paar Mathe-Fragen, es wäre nett , wenn jemand sie noch heute beantworten könnte, da ich morgen meine erste Mathe-LK Klausur in der

12

schreibe.

1. Symmetrie, ist

f (x) = \frac{8}{4} - x^{2} \to f (- x) = \frac{8}{4} - x^{2}

oder

f (- x) = \frac{8}{4} + x^{2}

man hat ja im Grunde

f (- x) = \frac{8}{4} - {(- x)}^{2}

wird zuerst

{(- x)}^{2}

ausgerechnet zu

\to 4 - x^{2}

oder wird zuerst

(4 - {(- x)}^{2})

umgeschrieben also zu

4 + x^{2}

?

Persönlich bin ich für die erste Variante also zu

f (- x) = \frac{8}{4} - x^{2},

(da Punkt vor Strich und

^2

vor Punkt

),

dann wäre die Symmetrie punktsymmetrisch zum Ursprung .

Aber in der Schule hatten wir

f (- x) = \frac{8}{4} + x^{2}

raus, und das versteh ich nicht so ganz.

2. Pollstellen,

Wie bestimmt man die senkrechte Asymptoten ?

. .

. soviel ich weiß , muss die Definitonsmenge

= R

\(x) haben , also Nenner

= 0

wann tritt

z . B

. senkrechte Asymptoten auf ? Man hat ja nicht immer senkrechte Asymptoten , auch wenn man eine

D = R (x)

hat ( Nenner

= 0)

Was hat VZW damit zutun, geht es auch ohne VZW ?
Welche Merkmale gibt's da?

Erklärung und ein paar Beispiele wäre sehr hilfreich.

3. Frage mit

n = m

wie bestimmt man das Ergebnis

n = m

zähler^n = Nenner^m dann hat man eine waagerechte Asymptote.

man hat

z . b

\frac{2 - x^{2}}{x^{2} - 9}

liegt dann

y

auf

- 1

?

und bei

f (x) = \frac{x^{2} - 4}{x^{2} + 2}

liegt dann

y

auf 1 ?

dann wäre das ja immer entweder 1 oder

- 1,

oder ?

4. wie geht der VZW zur Bestimmung von Maximum oder Minimum.

also die hinreichende Bedingung von

f' 1 (x) . .

.

welche werte sollte man einsetzen?

wie geht die Rechnung ?

Steckbriefaufgabe Frage.

man kann bei der Steckbriefaufgabe mit der Formel ax^n+ax^n-1 usw. mit der Information von Nulllstelle, Wendepunkte, oder Extrempunkte bestimmen die Funktion.

ABER

was ist der Wendepunkt mit waagerechter Tangente... wozu braucht man das bei der Steckbriefaufgabe ?

was ist die Steigung der Tangente

m . .

. wozu braucht man das bei der Steckbriefaufgabe ?

Was ist die Normale mit der Steigung

n .

. wozu braucht man das bei der Steckbriefaufgabe?

Danke, im Voraus!

Hans

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kurvendiskussion (Mathematischer Grundbegriff)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

hagman aktiv_icon

17:09 Uhr, 11.09.2008

1.
Es ist

{(- x)}^{2} = (- x) \cdot (- x) = x \cdot x = x^{2}

(Nenn es ruhig "minus mal minus gibt plus")
Somit gilt

f (- x) = \frac{8}{4} - x^{2} = f (x)

für jedes

x, d . h

. der Graph ist achsensymmetrisch zur y-Achse.

2.
Vertikale Asymptoten hat man (bei der Betrachtung rationaler Funktionen) an den Stellen, wo der Nenner

= 0

wird (ohne dass der Zähler

= 0

wird).
Beispiel:

\frac{27 + 3 x^{2} + 42 x^{99}}{x - 3}

hat bei

x = 3

eine vertikale Asymptote.
Für den VZW bestimme die Vielfachheit der entsprechenden Nenner-Nullstelle. Ist der Grad ungerade (einfache, dreifache, fünffache,

. .

. Nullstelle im Nenner) , so tritt ein Vorzeichenwechsel auf, bei gradem Grad (doppelte, vierfache,

. .

. Nullstelle im Nenner) tritt keinm VZW auf.
Aber Achtung: Immer erst scheuen, ob Zähler und Nenner nicht womöglich gemeinsame Nullstellen haben.

Beispiel:

y = \frac{x^{4}}{x^{2} - 2 x + 1}

hat bei

x =^{1}

eine doppelte Nullstelle im Nenner,

d . h

. eine Polstelle zweiter

(d . h

. gerader) Ordnung, also eine Polstelle ohne VZW.

y = \frac{x^{4} - x^{3}}{x^{2} - 2 x + 1}

hat dagegen nur eine Polstelle erster (also ungerader) Ordnung, weil sich ein Faktor

x - 1

wegkürzt.

y = \frac{{(x - 1)}^{2}}{x^{2} - 2 x + 1}

hat sogar gar keine Polstelle bei

x = 1;

in der Tat handelt es sich (beinahe) um die konstante Funktion

y = 1 -

abgesehen davon, dass eine Definitionslücke bei

x = 1

vorliegt (hierbei handelt es sich dann um eine sog. "hebbare Definitionslücke").

3.
Haben Zähler- und Nennerpolynom denselben Grad, so liegt eine waagerechte Asymptote vor. Die Ordinate dieser Asymptote ist einfach der Quotuient der beiden füjhrenden Koeffizienten.
Ist also der Zähler

7 x^{99} + 13 x^{12} + 5

und der Nenner ist

- 2 x^{99} + 42 x^{72} - 9 x^{8} + 182376,

so liegt die waagerechte Asymptote bei

y = \frac{7}{- 2} = - \frac{7}{2}

4.
Notwendig für das Vorliegen eines lokalen Minimums oder Maximums an der Stelle

x

ist, dass

f' (x) = 0

gilt. Hinreichend ist, dass zusätzlich

f'' (x) > 0

(Minimum) bzw.

f'' (x) < 0

(Maximum) gilt. Gilt jedoch auch

f'' (x) = 0,

so kann man entsprechend höhere Ableitungen betrachten. Gilt schließlich

f^{(n)} (x) \neq 0,

was folgt dann für Funktion an der Stelle x? Die Funktion sieht dort im Wesentlichen so aus wie

x^{n}

(sofern

f^{(n)} (x) > 0

ist, sonst wie

- x^{n}

). Falls also

n

gerade ist, liegt ein Minimum vor (bzw. Maximum bei negativem Vorzeichen); falls dagenen

n

ungerade ist, liegt ein Wendepunkt vor.

(Sind gar alle Ableitungen

= 0

an der Stelle

x,

so führen diese Überlegungen leider nicht weiter.)

Steckbriefaufgaben:
Jede der Bedingungen läßt sich übersetzen in "die soundsovielte Ableitung ahat an dieser Stelle jenen Wert", manchmal sogar in mehrere Bedingungen.
Beispiel: Bei

(5 | 2)

hat der Graph eine waagerechte Wendetabgente heißt

1) f (5) = 2

(Graph geht durch den Punkt)

2) f' (5) = 0

(hat dort waagerechte Tangente)

3) f'' (5) = 0

(und Wendepunkt)
Da

f (x), f' (x)

usw. einfach mit den unbekannten Koeffizienten ausdrückbar sind, erhält man entsprechend viele lineare Gleichungen ni diesen Unbekannten

TiM3WaLK aktiv_icon

22:32 Uhr, 11.09.2008

Danke !

Hab jetzt alles verstanden.

Hans

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