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Kurvendiskussion: Funktionenschar mit ln

Universität / Fachhochschule

Funktionen

Tags: Funktionenschar, Kurvendiskussion

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17:53 Uhr, 05.12.2015

Huhu ihr Mathe-Experten,

ich bin neu hier und suche Rat bei einer schwierigen Kurvendiskussion. Es ist eine Funktionsschar gegeben:

f_{n} (x) = x^{- n} \cdot ln (x^{2})

Die Ableitung ist irgendwie komisch und ich traue meinem eigenen Ergebnis nicht so richtig. Mal ganz abgesehen davon, dass ich noch nie mit Funktionsscharen eine Kurvendiskussion machen musste und nicht mal erklären könnte, wie Fallunterscheidungen gehen. Ich habe mal angefangen, die Aufgabe zu lösen:

Nullstellen: bei

ln (x^{2})

wäre

x_{1} = 1

und

x_{2} = - 1;

für

x^{- n}

gibt es keine

Erste Ableitung:

{f'}_{n} (x) = - n \cdot x^{- n - 1} \cdot ln (x^{2}) + 2 x^{- n - 1}

Mehr habe ich nicht. Das Ganze sieht unheimlich kompliziert aus, vor allem, da die Variable bei

x

der Exponent ist. Ich bin unbewandert im Vereinfachen von Termen, aber ich kann üblicherweise Kurvendiskussionen durchführen. Nur nicht unbedingt für sowas.

Ich wäre echt froh, wenn mir da jemand beratend zur Seite stehen könnte. Ist wahrscheinlich viel umständliche Rechnerei.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktionenschar (Mathematischer Grundbegriff)
Kurvendiskussion (Mathematischer Grundbegriff)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

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18:03 Uhr, 05.12.2015

Dein Ableitung ist richtig. Und so kompliziert ist das Ganze auch nicht.
Vielleicht wird's anschaulicher, wenn Du so schreibst:

f (x) = \frac{\ln (x^{2})}{x^{n}}

und

f^{ʹ} (x) = \frac{2 - n \ln (x^{2})}{x^{n + 1}}

.

Dann siehst Du, dass

f ʹ (x) = 0

<=>

2 = n \ln (x^{2}) = \ln (x^{2 n})

<=>

x^{2 n} = e^{2}

<=>

x = \pm e^{1 / n}

. Und Du siehst auch, dass

f^{ʹ} (x) > 0

für

∣ x ∣ < e^{1 / n}

und

f ʹ (x) < 0

für

∣ x ∣ > e^{1 / n}

.
Usw.

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18:08 Uhr, 05.12.2015

Warum darf ich das so schreiben? Ist das Multiplikation mit dem Kehrbruch?

Es sieht auf jeden Fall so übersichtlicher aus.

Atlantik aktiv_icon

18:12 Uhr, 05.12.2015

Alternative:

f_{n} (x) = x^{- n} \cdot ln (x^{2}) = \frac{ln (x^{2})}{x^{n}} = \frac{2 \cdot ln (x)}{x^{n}}

[\frac{2 \cdot ln (x)}{x^{n}}]

= \frac{\frac{2}{x} \cdot x^{n} - 2 \cdot ln (x) \cdot n \cdot x^{n - 1}}{{(x^{n})}^{2}} = \frac{\frac{2}{x} \cdot x^{n} - \frac{2}{x} \cdot ln (x) \cdot n \cdot x^{n}}{{(x^{n})}^{2}} = \frac{2 - 2 \cdot ln (x) \cdot n}{x \cdot (x^{n})}

mfG

Atlantik

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18:13 Uhr, 05.12.2015

x^{- n}

ist dasselbe wie

\frac{1}{x^{n}}

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18:20 Uhr, 05.12.2015

Oooooh stimmt, negativer Exponent...da war ja was^^ Ich hab das ganze Zeug schon lang nicht mehr gebraucht.

Schaut ja schon mal gut aus, ich setze mich mal an die zweite Ableitung.

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18:46 Uhr, 05.12.2015

Ich habe nochmal die erste Ableitung berechnet, diesmal ausgehend von der Bruch-Schreibweise. Irgendwie hänge ich jetzt da fest.

Ich habe den 1.Schritt von Atlantiks Lösung genau so dastehen, aber ich sehe nix zum vereinfachen. Bei Mr.Boogies Lösung steht was komplett anderes da. Was ist denn jetzt richtig?

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18:48 Uhr, 05.12.2015

Meine Lösung ist fast identisch mit der von Atlantik.
Er hat nur

\ln (x^{2})

als

2 \ln (x)

dargestellt. Was übrigens unzulässig ist, denn dadurch verliert er alle negative

x

aus dem Definitionsbereich.

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18:49 Uhr, 05.12.2015

Ich bin kein Mr. Boogie, ich bin ein Dr. Ein echter promovierter Mathematiker, übrigens.

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19:01 Uhr, 05.12.2015

Worüber hast du denn promoviert ? Würde mich echt interessieren. Du hast es ja echt voll drauf, wie man ständig beobachten kann.
Im Vergleich zu mir,einer 10-Watt-Birne, hast du die Strahlkraft einer Supernova. :-))

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19:03 Uhr, 05.12.2015

Tut mir Leid, ich konnte mir den Namen nicht merken. Ist ja immer gut, wenn man einen Profi fragen kann.

Also mein Zwischenergebnis für die erste Ableitung ist:

\frac{\frac{2 x \cdot x^{n}}{x^{2}} - ln (x^{2}) \cdot n \cdot x^{n - 1}}{{(x^{n})}^{2}}

Wie kommt man denn von hier auf die übersichtliche Endformel?

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19:17 Uhr, 05.12.2015

Durch

x^{n - 1}

kürzen.
Ansonsten kann man wohl von einem/r Studenten/in erwarten, dass er/sie Brüche umformen kann, oder? Schulstoff, 8. Klasse.

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19:27 Uhr, 05.12.2015

Ich bin ja kein Mathe-Student, ich habe Mathe nur als Nebenfach. Ich kann das mit den Brüchen halt nicht mehr, ich habe vor dem Studium gearbeitet und in der Zeit ist viel Wissen flöten gegangen.

Ich sehe zumindest nicht, wo man mit

x^{n - 1}

kürzen kann. Das ist ja nicht in jedem Teil enthalten.

Muss ich mich jetzt schlecht fühlen? Ich will ja lernen^^

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19:32 Uhr, 05.12.2015

"Muss ich mich jetzt schlecht fühlen?"

Definitiv nicht.
Das Problem ist aber, dass wenn jemand richtig große Defizite hat, wird er hier kaum angemessene Hilfe bekommen können. Online-Hilfe ist kein adäquater Ersatz für richtige Nachhilfe.

Du hast

x^{n - 1}

in allen Termen "drin", denn

\frac{2 x \cdot x^{n}}{x^{2}} = 2 x^{n - 1}

und

(x^{n})^{2} = x^{2 n} = x^{n - 1} \cdot x^{n + 1}

Roman-22

19:43 Uhr, 05.12.2015

Rechnen mit Potenzen

x \cdot x^{n} = x^{n + 1}

Rechnen mit Logarithmen

2 \cdot ln (x) = ln (x^{2})

R

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19:47 Uhr, 05.12.2015

Ich bedanke mich für die Antwort, das Kürzen habe ich jetzt verstanden.

Die genannte Aufgabe ist für mich nicht Prüfungsniveau, sondern eine Zusatzleistung. Ich habe nur leider keinen, der mir hierbei helfen kann, deswegen wollte ich einfach mal hier fragen. Mit den normalen Übungsaufgaben aus den Vorlesungen komme ich klar.

Ich lasse die Aufgabe für heute ruhen und rechne mir bis morgen eine Lösung für die zweite Ableitung, die Extrema und die Tangentengleichung aus. Die stelle ich dann zur genauen Überprüfung hierhin.

Ich wünsche noch einen schönen Abend. Wer möchte, kann sich ja bis morgen mal an der kompletten Aufgabe versuchen.

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19:49 Uhr, 05.12.2015

Bist Du sicher, dass Du die 2. Ableitung brauchst? Sie wird etwas unschöner aussehen.

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19:54 Uhr, 05.12.2015

Nicht zwingend. Ich brauche Extrema, Monotonie, Tangentengleichung mit Schnittwinkel und einen gemeinsamen Punkt auf der x-Achse für alle Funktionen der Schar.

Ich rechne bei Hoch-und Tiefpunkten gerne mit der zweiten Ableitung statt mit der Tabelle, aber ich denke, die zweite Ableitung ließe sich vermeiden.

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19:58 Uhr, 05.12.2015

Hoch- und Tiefpunkte (also Maxima und Minima, auf mathematisch) kann man leicht auch mit der 1. Ableitung bestimmen. Bei einem Maximum ändert die 1. Ableitung ihr Zeichen von + auf -, bei einem Minimum - umgekehrt.

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09:32 Uhr, 06.12.2015

Guten Morgen,

ich habe gestern Abend noch weitergerechnet und wenigstens die Extrema bestimmt.

So habe ich gerechnet:

{f'}_{n} (x) = 0 \Rightarrow (2 - n) \cdot ln (x^{2}) = 0

ln (x^{2}) = 0

e^{ln (x^{2})} = e^{0}

x^{2} = 1

also ist

x_{1} = 1

und

x_{2} = - 1

Die Punkte sind dann

P_{1} (1; 0)

und

P_{2} (- 1; 0)

.

Ich habe auch versucht, den gemeinsamen Punkt aller Funktionen der Schar auszurechnen, bin aber nicht weitergekommen. Es muss ein Punkt sein, bei dem

f (x)

unabhängig von der Variablen

n

ist. Dazu habe ich folgende Gleichung mit a als zweitem Variablenwert aufgestellt:

x^{- n} \cdot ln (x^{2}) = x^{- a} \cdot ln (x^{2})

Ich habe bis zu dieser Form umgestellt, da würde aber keine vernünftige Lösung herauskommen:

x^{- n} - x^{- a} = 0

Anscheinend ist irgendwo ein Denkfehler oder ein Rechenfehler drin.

Bei der Monotonie bin ich gar nicht weitergekommen, da macht mir das

n

Probleme. Ich habe eine Vorzeichentabelle gemacht,

n

soll aus der Menge N\

{

0} betrachtet werden.

Ich habe außerdem eine wichtige Angabe vergessen, nämlich die Definitionsmenge der Funktion

f_{n} (x) : D =

]

0;∞[

Die Tangentengleichung kann ich selbst aufstellen, wenn ich den Schnittpunkt für alle Funktionen ausgerechnet habe.

Ist das bis jetzt Errechnete so richtig?

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09:46 Uhr, 06.12.2015

Woher hast Du

f^{ʹ} (x) = (2 - n) \ln (x^{2})

?
Richtig ist

f^{ʹ} (x) = 2 - n \ln (x^{2})

. Das steht mehrfach oben. Und entsprechend sind Deine Extremstellen falsch berechnet. Richtige stehen auch oben (wegen der Definitionsbereichs hast Du dann nur eine, die positive:

x = e^{1 / n}

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09:58 Uhr, 06.12.2015

Ich wusste nicht, dass das

n

zum Logarithmus gehört (Ich weiß, Punkt vor Strich, aber wenn keine Klammern gesetzt sind, vertausche ich das trotzdem gern). Dann muss ich da nochmal umstellen. Ich wollte es ja deswegen selbst nachrechnen.

Wie macht man denn das mit der Monotonie? Brauche ich eine Fallunterscheidung? Ich habe in meiner Tabelle einmal eine Spalte für den Term

2 - (n \cdot ln (x^{2})),

eine Spalte für

x^{n + 1}

und eine für die gesamte Ableitungsfunktion.

Mathe45

09:59 Uhr, 06.12.2015

Extremwerte

f (x) = x^{- n} \cdot ln (x^{2})

f' (x) = (- n) \cdot x^{- n - 1} \cdot ln (x^{2}) + x^{- n} \cdot \frac{1}{x^{2}} \cdot 2 \cdot x

f' (x) (- n) \cdot x^{- n - 1} \cdot ln (x^{2}) + 2 \cdot x^{- n - 1}

x^{- n - 1} \cdot (- n \cdot ln (x^{2}) + 2) = 0

Für

x = 0

ist die Funktion nicht definiert.

\Rightarrow

n \cdot ln (x^{2}) = 2

ln (x^{2}) = \frac{2}{n}

x^{2} = e^{\frac{2}{n}}

x_{1} = \sqrt{e^{\frac{2}{n}}}

x_{2} = - \sqrt{e^{\frac{2}{n}}}

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10:00 Uhr, 06.12.2015

Monoton steigend <=>

f^{ʹ} (x) > 0

, monoton fallend <=>

f^{ʹ} (x) < 0

.
Die Bereiche, wo das passiert, habe ich auch schon oben gezeigt.

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10:05 Uhr, 06.12.2015

Ja schon, aber ich muss das über die Tabelle herleiten, ich kann nicht einfach so die Lösung hinschreiben. Wenn man das auch ohne Tabelle machen kann, bin ich ganz Ohr, ich kenne nur den Rechenweg nicht, wenn das

n

dabei ist, und ich würde das ganze Schema gerne verstehen.

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10:07 Uhr, 06.12.2015

Was für Tabelle? :-O

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10:17 Uhr, 06.12.2015

Ich weiß nicht, wie man das in der höheren Mathematik berechnet, aber wir haben als Lösungsschema für die Monotonie einer Funktion gelernt, eine Vorzeichentabelle zu erstellen.

Dazu teilt man die gesamte Ableitungsfunktion auf. Man betrachtet immer einzeln die Terme, in denen

x

vorkommt, in den Bereichen vor jeder Extremstelle und danach (Bei Funktionen mit Brüchen zum Beispiel Zähler und Nenner separat). Da setzt man dann eine Zahl für

x

aus dem Bereich ein und schaut, ob der Wert negativ oder positiv wird und trägt minus oder plus in die Tabelle ein. Ganz unten gibt es eine Spalte für den gesamten Funktionsterm, da werden die Vorzeichen aus den oberen Spalten vertikal für jeden Bereich "addiert" und heraus kommt das Verhalten für die Gesamtfunktion.

An der Uni haben die Professoren uns auch dieses Lösungsschema nahegelegt. Ist normalerweise recht einfach, aber vielleicht nicht so professionell.

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10:48 Uhr, 06.12.2015

Nun, Du hast

f^{ʹ} (x) = \frac{2 - n \ln (x^{2})}{x^{n + 1}}

und Du hast den Definitionsbereich

x \in (0, \infty)

. Also der Nenner ist immer positiv und der Zähler ist genau dann positiv, wenn

2 - n \ln (x^{2}) > 0

. Diese Ungleichung ist leicht umzuformen in

x < e^{1 / n}

, damit hättest Du monotone Steigung auf

(0, e^{1 / n})

und monotonen Abfall auf

(e^{1 / n}, \infty)

. Also, ohne Tabelle.
Aber wenn Du möchtest, kannst Du natürlich auch so machen: die einzige Extremstelle ist

e^{1 / n}

, also hast Du nur zwei Bereiche

(0, e^{1 / n})

und

(e^{1 / n}, \infty)

. Jetzt kannst Du

x

aus beiden Bereichen nehmen und prüfen, ob die Ableitung positiv oder negativ ist. Ist vielleicht nicht ganz offensichtlich, wie man "gute"

x

finden kann, um dies berechnen zu können. Aber ich würde

x = 1

(aus

(0, e^{1 / n})

) und

x = e^{2 / n}

(aus

(e^{1 / n}, \infty)

nehmen, das wäre Deine "Tabellenmethode".

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10:52 Uhr, 06.12.2015

Die Idee finde ich super, damit komme ich zurecht.

Was mir noch fehlt, ist der gemeinsame Punkt aller Funktionen der Schar. Ist mein Gleichungsansatz richtig?

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10:58 Uhr, 06.12.2015

Ich sehe keine Gleichung.
Aber der gemeinsame Punkt ist offensichtlich

1

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11:02 Uhr, 06.12.2015

Mein Gleichungsansatz von weiter oben lautet:

x^{- n} \cdot ln (x^{2}) = x^{- a} \cdot ln (x^{2})

wobei a die zweite Variable darstellen soll. Ich komme aber zu keiner Lösung für

x,

wenn ich die Gleichung auflöse, sondern habe dann das dastehen:

x^{- n} - x^{- a} = 0

Wo liegt der Fehler?

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11:06 Uhr, 06.12.2015

Du kürzt durch

\ln (x^{2})

, was nur möglich ist, wenn

\ln (x^{2}) \neq 0

. Also, ist das nicht sauber. Aber die Lösung

x = 1

verlierst Du trotzdem nicht, denn

x^{- n} = x^{- a}

für

n \neq a

<=>

x = 1

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11:07 Uhr, 06.12.2015

Wenn z.B.

n < a

, dann

0 = x^{- n} - x^{- a} = x^{- a} (x^{a - n} - 1)

x^{a - n} - 1 = 0

x^{a - n} = 1

x = 1

(für positive

x

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11:11 Uhr, 06.12.2015

Wie komme ich dann rechnerisch auf diese Form? Kann man den Logarithmus per e-Funktion wegbringen, wenn ich ihn nicht wegkürzen darf?

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11:18 Uhr, 06.12.2015

x^{- n} \ln (x^{2}) = x^{- a} \ln (x^{2})

(x^{- n} - x^{- a}) \ln (x^{2}) = 0

x^{- n} - x^{- a} = 0

oder

\ln (x^{2}) = 0

.
Und weiter zwei diese Fälle getrennt betrachten. Beide bringen dieselbe Lösung

x = 1

(das ist aber Zufall, es könnten auch verschiedene Lösungen zustande kommen).

Da nutzte ich eine von wenigen mathematischen "Basiswahrheiten", welche erstaunlicherweise vielen unbekannt ist:

a b = 0

a = 0

oder

b = 0

(für reelle Zahlen

a, b

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11:30 Uhr, 06.12.2015

Die Idee hatte ich auch, war mir aber nicht sicher, ob ich das getrennt betrachten darf.

Somit wäre mein Hauptproblem gelöst, und das recht ausführlich.

Ich traue mir wenigstens zu, die Tangentengleichung und den Grenzwert per L'Hôpital-Regel selber zu berechnen, ohne dass ich nachfragen muss.

Vielen Dank für den Aufwand an Dr.Boogie und alle anderen, die hier ihre Rechnungen und Tipps eingestellt haben.

Ich bin sicherlich kein Mathe-Profi und ich habe teilweise schon Schwierigkeiten bei den Binomischen Formeln, aber ich werde üben und hoffentlich dranbleiben.

Ich wünsche euch noch einen schönen Sonntag.

Ein Technikjournalismus-Student

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