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Kurvendiskussion f(x)= x²*e^x

Schüler Gymnasium,

Tags: Kurvendiskussion

Lancome aktiv_icon

20:31 Uhr, 20.10.2011

Hallo Zusammen ,

ich muss zu dieser Funktion die komplete Kurvendiskussion machen.

f (x) =

x²

\cdot e^{x}

Ich hab die Lösung (kurvendiskussion online )weiß aber nicht wie man drauf kommt.

Kurvendiskussion
Funktionsgleichung
f(x)=x2⋅ex

1. Ableitung hab ich auch selber :

f' (x) = u \cdot v' + v \cdot u'

f' (x) =

x²*e^x+e^x*2x
= x²*

2 e^{x} \cdot 2 x

= x(x+2)ex
So müssen wir das machen

2. Ableitung
f′′(x)=(x2+4x+2)ex

3. Ableitung
f′′′(x)=(x2+6x+6)*ex

Stammfunktion
F(x)=(x2−2x+2)ex

Nullstelle bei

x = 0

Extrema
Maximum im Punkt

(- 2 | 0,5413),

Minimum im Punkt

(0 | 0)

Wendepunkte
Wendepunkt bei

(- 3,4142 | 0,3835),

Wendepunkt bei

(- 0,5857 | 0,1909)

Grenzwert gegen plus unendlich
limx→∞f(x)=∞

Grenzwert gegen minus unendlich
limx→−∞f(x)=0

Definitionsbereich
Df=

]

−∞,∞[

Waagrechte Asymptote bei

y = 0

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kurvendiskussion (Mathematischer Grundbegriff)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

rundblick aktiv_icon

20:56 Uhr, 20.10.2011

und wo hast du nun konkret ein Problem - oder eine Frage?

nebenbei: hier ist noch ein Schreibfehler eingebaut:
1. Ableitung hab ich auch selber :

f'(x)=u⋅v'+v⋅u'

f' (x) =

x²*e^x+e^x*2x
= x²* 2ex⋅2x

< - - - - - - - - -

DAS IST ETWAS "VERUNGLÜCKT" - ODER?
= x(x+2)ex
So müssen wir das machen

Atlantik aktiv_icon

21:14 Uhr, 20.10.2011

Ich stelle mal den Graphen als Kontrolle ein.

mfG

Atlantik

Zu diesem Beitrag wurde eine digitale Zeichnung hinzugefügt:

Zeichnung betrachten

Lancome aktiv_icon

21:21 Uhr, 20.10.2011

Ich weiß, dass das richtig ist ich hab das von einer seite, wo man die gleichung eingibt und dann kommt die komplete kurvendiskussion.

Aber mein Lehrer will ja den Weg und nicht ein paar ergenisse und ich kommt nicht drauf .
Ich hab das

z . b

alleine mit der Ableitung versucht und da kommt was anderes raus:

f'' (x) = 2 e^{x} \cdot

x²*2x

= 2 e^{x} [

(x²*2)+

(2 x \cdot 2 x)]

= 2e^x*x²*2+4x²

= 2

e^x*2x²+4x²

= 2

e^x*6x²

und da kommt eben nicht das raus

Atlantik aktiv_icon

10:34 Uhr, 21.10.2011

Hallo,

y = x^{2} \cdot e^{x}

Nullstelle:

x^{2} = 0

x = 0

y

= 2 \cdot x \cdot e^{x} + x^{2} \cdot e^{x} = e^{x} \cdot (x^{2} + 2 \cdot x)

Extremwerte:

e^{x} \cdot (x^{2} + 2 \cdot x) = 0

e^{x} \cdot x \cdot (x + 2) = 0

x_{1} = 0; y_{1} = 0

x_{2} = - 2; y_{2} = 4 \cdot e^{- 2}

y

= 2 \cdot x \cdot e^{x} + x^{2} \cdot e^{x}

y´´

= 2 \cdot e^{x} + 2 x \cdot e^{x} + 2 \cdot x \cdot e^{x} + x^{2} \cdot e^{x} = e^{x} \cdot (2 + 4 x + x^{2})

y´´

(0) = e^{0} \cdot (2 + 4 \cdot 0 + 0) = 2 > 0

Minimum

y´´

(- 2) = e^{- 2} \cdot (2 + 4 \cdot (- 2) + 4) = \frac{1}{e^{2}} \cdot (- 2) < 0

Maximum

Wendepunkte

e^{x} \cdot (2 + 4 x + x^{2}) = 0

Zwischenrechnung

x^{2} + 4 x + 2 = 0 | - 2

x^{2} + 4 \cdot x = - 2

Nun die quadratische Ergänzung

{(\frac{4}{2})}^{2} = 4

auf beiden Seiten addieren

x^{2} + 4 \cdot x + 4 = - 2 + 4 = 2

Jetzt 1.Binom

{(x + 2)}^{2} = 2 | \sqrt{}

x + 2 = \pm \sqrt{2}

x_{1} = - 2 + \sqrt{2}

x_{2} = - 2 - \sqrt{2}

Alles Gute

Atlantik

Underfaker aktiv_icon

11:13 Uhr, 21.10.2011

Zu deinem Ableitungsproblem:

f'' (x) =

die ABleitung von

f'

(wird quasie genauso gemacht, den Lösungsweg hast du dir selbst schon aufgeschrieben)

(Ich habe für mich diese Form gewählt:

f' (x) =

(x²+2x)*

e^{x})

f'' (x) = (2 x + 2) \cdot e^{x}

+(x²+2x)*

e^{x} \to u' \cdot v + u \cdot v'

= (2x+2+x²+2x)*

e^{x} \to

Beide Summanden beinhalten den gleichen Faktor

e^{x}

und können deswegen zusammengefasst werden.
= (x²+4x+2)*

e^{x}

Probier doch jetzt einfach mal die dritte Ableitung, sie geht vom Prinzip her genauso.

Ein Tipp für die Auflösung von Gleichungen nach

x,

weil das im Post über mir sehr undeutlich skizziert ist:

Wenn du eine Funktion hast bei der du x²

\cdot e^{x}

hast dann kannst du immer (wenn die Funktion

= 0

ist) zu erst das

e^{x}

weg-teilen.

Bsp. Wendepunkt:

f'' (x) = 0 \Rightarrow

(x²+4x+2)

\cdot e^{x} = 0 | \div e^{x}

= x²+4x+2

= 0 \to

Der Rest sollte dann machbar sein.

Machen wir ncoh den Verlauf im Unendlichen (auch wenn ich glaube, dass das mit da sleichteste ist).

Gegeben ist deine Funktion

f (x) =

x²

\cdot e^{x}

Sinnvoll ist es die Funktion aufzuteilen in die Teile x² und

e^{x},

damit lässt sich leichter verdeutlichen wie die Lösung aussehen muss. (Wahlweise kannst du das natürlich auf jeder Zeichnung auch nachsehen)

x \to + \infty

Jetzt sehen wir uns an was bei beiden passiert wenn wir einfach hohe positive Zahlen eingeben; logischerweise wird x² immer größer und auch

e^{x}

wird sehr schnell sehr groß (wenn man sich ein wenig mit

e

auskennt weiß man das irgendwann).

\Rightarrow

x²

\to + \infty

und

e^{x} \to + \infty

Es bleiben also 2 große Zahlen die multipliziert werden das ergibt dann logischerweise eine noch größere Zahl, wir folgern daraus:

f (x) \to + \infty

Dasselbe Spiel muss nun noch für den negativen Bereich gemacht werden:

x \to - \infty

Für unser x² ändert sich nichts durch den Vorzeichenwechsel, aber wenn wir immer größere negative Zahlen bei

e^{x}

einsetzen werden wir merken das wir immer kleinere Dezimalzahlen bekommen, die jedoch nie negativ sind oder 0 werden (Taschenrechner geben irgendwann den Geist auf weil die Zahl zu klein wird).

Für uns gilt also:

\Rightarrow

x²

\to + \infty

und

e^{x} \to 0

Bitte beachten!

e^{x}

wird nicht 0 sondern nähert sich der 0 an!

Wir schließen also, wenn wir x² mit

e^{x}

multiplizieren:

f (x) \to 0

Ich hoffe ich konnte dir ein bisschen helfen :-)

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