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Mathe Abituraufgabe 2007 (NRW)

Schüler Gymnasium, 13. Klassenstufe

Tags: Begründen, Ganzrationale Funktionen, Monotonie

shinkaeo aktiv_icon

19:42 Uhr, 22.04.2011

Hallo, zur Übung für meine Abiturprüfung löse ich grad die frühere Abituraufgabe, die im Bild zu sehen ist (Begründen Sie warum kein Puhnkt...; nur erster Aufgabenteil)
Wäre der folgende Ansatz, den ich (abweichend von der offiziellen Musterlösung)geschrieben hätte, zulässig gewesen? :

Der Funktionswert an der Stelle

t = 0

beträgt

0,

und die Steigung an dieser Stelle ist positiv. Nach dieser Nullstelle liegt ein einziges Minimum mit den Koordinaten

(2 a | 0)

vor. Aus diesem Grund sind alle Werte in diesem Intervall (

[

Ursprung]<

t <

Minimum) positiv. Da der Koeffizient der Variablen mit dem höchsten Exponenten

(\Rightarrow

t³) positiv ist

(k = \frac{1}{4}),

gilt, dass die Funktion zumindestens nach der äußerst rechten Tiefstelle (also äußerst rechts im Koordinatensystem) streng monoton steigend ist. Damit ergeben sich für

t \geq 0

positive Funktionswerte.

- - - - - - - - - - - - - - - -

In der Musterlösung wird folgende Lösung vorgeschlagen:

\frac{1}{4} \cdot t^{3} - a \cdot t^{2} + a^{2} \cdot t \Leftrightarrow \frac{1}{4} \cdot t \cdot (t - 4 a \cdot t + 4 a^{2}) \Leftrightarrow \frac{1}{4} t \cdot {(t - 2 a)}^{2}

Für

t \geq 0

ist der erste Faktor positiv, und der Term in der KLammer wird durch das Quadrieren, unabhängig von

a,

positiv, daher sind die Funktionswerte für

t \geq 0

immer positiv.

- - - - - - - - - - - - - - - - - -

Wäre nun meine Begründung nun genauso hinreichend wie der in der Musterlösung vorgeschlagene Ansatz, so dass es für diese auch volle Punktzahl gegeben werden könnte ?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Monotonieverhalten (Mathematischer Grundbegriff)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Gerd30.1 aktiv_icon

10:25 Uhr, 23.04.2011

zu zeigen ist

: f_{a} (t) \geq 0

für

t \geq 0,

also

\frac{t^{3}}{4} - a t^{2} + a^{2} t \geq 0 \Leftrightarrow

t (\frac{t^{2}}{4} - a t + a^{2}) \geq 0 \Leftrightarrow

t {(\frac{t}{2} - a)}^{2} \geq 0

gilt, weil

t \geq 0 \land {()}^{2} \geq 0

jairohmsford aktiv_icon

01:10 Uhr, 14.05.2011

Meine Antwort auf deine Frage kommt ein bisschen spät, aber vielleicht kann sie ja späteren Lesern noch helfen:

Es ist immer spekulativ, wenn man entscheiden soll, ob eine alternative Lösung genau so gut gewesen wäre wie die Musterlösung. Ich halte deinen Lösungsvorschlag aber für wohlbegründet, zwar etwas umständlich, aber doch nachvollziehbar und sachlich richtig. Von mir hättest du also die volle Punktzahl bekommen.

VG, jair

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