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Mittelwertsatz der Integralrechnung

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Flächeninhalt, Funktion, Integral, Integration, Mittelwert

loft11 aktiv_icon

17:21 Uhr, 19.02.2010

Mittelwertsatz der Integralrechnung

Die Funktion

f

ist im Intervall

[a; b]

stetig. Dann ist der Mittelwert µ aller Funktionswerte der Funktion

f

über

[a; b]

gleich einem Funktionswert der Funktion

f

im Intervall

[a; b], d . h

. dann gibt es eine Stelle

c

€

[a; b],

sodass gilt:

f (c) = \frac{1}{b - a} \cdot \int_{a}^{b} f (x) d x

Aufgaben dazu:

a)

Warum muss die Stelle

c

im Mittelwertsatz der Integralrechnung nicht eindeutig bestimmt sein? Skizzieren Sie Schaubilder von Funktionen, bei denen es

2 [3]

Möglkichkeiten für die Stelle

c

gibt.

b)

Bei welchen Funktionen ist

c

eindeutig bestimmt?

Könnt ihr mir bei den Aufgaben weiterhelfen? Ich verstehe sie nicht

= (

Danke ;-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen
Flächeninhalte
Flächenmessung
Kreis: Umfang und Flächeninhalt
Kreisteile: Berechnungen am Kreis

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

smoka

17:38 Uhr, 19.02.2010

Verstehst Du, was dieser Satz besagt?

a) Schau Dir mal den Graph der Funktion

f : [0, 2 π] \to ℝ, x \mapsto \sin x

an.
Was ist der Mittelwert

μ

dieser Funktion auf dem angegebenen Intervall?
Und wieviele

c_{i} \in [0, 2 π]

gibt es mit

f (c_{i}) = μ

?

b) Stichwort: injektiv/surjektiv/bijektiv

loft11 aktiv_icon

16:28 Uhr, 22.02.2010

Also..der Mittelwert in diesem Intervall ist ja

0,

bzw. die x-Achse beschreibt

y =

µ. Der Satz besagt ja auch, dass die Fläche über der Gerade

y =

µ gleich der Fläche unter dieser Gerade ist, wenn ichs richtig verstanden habe..

Es gibt 3 mal

c_{i}

an den Stellen

0, π

und

2 π

b)

Ich kenne die drei Begriffe leider nicht..sind die eventuell zu hoch für das Niveau der

12

. Klasse ? Und kann mans auch mit einfachen Worten erklären?

Aber schonmal vielen Dank, hat mir schon gut weitergeholfen

;]

smoka

17:26 Uhr, 22.02.2010

zu a) genau, sin hat drei Nullstellen auf dem Intervall. jetzt musst Du noch ein Beispiel finden mit 2 Stellen.

b) Tut mir leid, ich habe übersehen, dass Du zur Schule gehst. Da kennt man die Begriffe in der Regel nicht. Wenn Du Deinem Mathelehrer imponieren möchtest erzähl ihm, dass es für injektive Funktionen gilt. Das bedeutet, dass jeder Funktionswert nur einmal angenommen wird, mathematisch:

x \neq y \Rightarrow f (x) \neq f (y)

Es ist dann also ausgeschlossen, dass es mehrere Argumente (x-Werte) mit dem gleichen Funktionswert gibt.
Falls Du Dich auf Schulstoff beschränken möchtest:
Monotonie sagt Dir was, oder? Für streng monotone Funktionen ist das c nämlich auch eindeutig. Klar warum?

loft11 aktiv_icon

18:31 Uhr, 22.02.2010

Also ist die Funktion

sin x

oder

cos x

nicht injektiv, weil sie andauernd wieder die gleichen funktionswerte annimmt. ICh muss ein wenig überlegen, wie das mit der Monotonie war.

Also ich weiß es noch von Folgen: Das nachfolgende Folgenglied ist immer größer/kleiner als das aktuelle Folgenglied. monoton steigend wäre ja, wenn das nächste Folgenglied größer als das aktuelle ist.

Wie war das mit streng monoton steigend..

a_{n + 1} > a_{n}

und wenns nur monoton steigend ist, dann

a_{n + 1} \geq a_{n}

? also wäre eine streng monoton steigende Funktion injektiv..hab ich das richtig verstanden? UNd ist es egal, ob sie beschränkt oder konvergent ist?

Aber wegen dem

c

bräuchte ich vielleicht noch einen kleinen denkanstoß..

Vielen Dank bisher

!!

smoka

18:49 Uhr, 22.02.2010

richtig, sin und cos sind nicht injektiv.

Auch mit der Monotonie hast Du Recht. Die Definition für Folgen überträgt sich 1:1 auf Funktionen. (nur nebenbei: Eine weitere Möglichkeit Monotonie zu überprüfen ist es die Ableitung zu untersuchen, weißt Du warum?)
Bei Funktionen spricht man eigentlich nicht von Konvergenz und mit Beschränktheit hat Monotonie auch nichts zu tun.

"Aber wegen dem c bräuchte ich vielleicht noch einen kleinen denkanstoß.."
Wie meinst Du das? Wozu brauchst Du einen Denkanstoss?

EDIT: Ja, eine streng monotone Funktion ist in aller Regel injektiv.

loft11 aktiv_icon

22:34 Uhr, 22.02.2010

Ich glaube, dass ich nicht ganz verstehe, was es eigentlich bedeutet, dass

c

"eindeutig" bestimmt ist. was bedeutet das eigentlich genau? sorry, wenn das eine dumme frage ist, aber ich glaub, da hängt es grade..

Wie kann man das an der Ableitung erkennen? würde mich jetzt auch noch interessieren.

Und, wenns nicht zu aufwendig ist, noch eine Frage: Wie unterscheide ich Konvergenz und Beschränktheit (bei Folgen) ?

smoka

22:48 Uhr, 22.02.2010

"Ich glaube, dass ich nicht ganz verstehe, was es eigentlich bedeutet, dass c "eindeutig" bestimmt ist. was bedeutet das eigentlich genau?"

Der Mittelwertsatz macht eine Aussage uber den Mittelwert

μ

einer Funktion auf dem Intervall

[a, b]

und besagt, dass es in diesem Intervall ein Element "c" gibt, für das gilt:

a \leq c \leq b

. Der entsprechende Funktionswert ist dann genau

f (c) = μ

. Kürzer schreibt man

c \in [a, b]

mit

f (c) = μ

.

"Wie kann man das an der Ableitung erkennen? würde mich jetzt auch noch interessieren."

Die erste Ableitung einer Funktion macht eine Aussage über die Steigung der Funktion. Ist die Steigung immer positiv, so ist die Funktion streng monoton wachsend.

"Wie unterscheide ich Konvergenz und Beschränktheit (bei Folgen) ?"

Ich verstehe diese Frage nicht ganz. Wie Unterscheidest Du denn Hunde von Teppichen? Beschränktheit und Konvergent haben nichts miteinander zu tun. Lies Dir nochmal die Definitionen der beiden Begriffe durch.

loft11 aktiv_icon

13:37 Uhr, 23.02.2010

Ok alles klar, das mit dem

c

habe ich verstanden und das mit der Ableitung ist mir heute im UNterricht selbst auch aufgefallen. Wundert mich nur, dass wir es in der Schule nicht so einfach erklärt bekommen haben.

Scheint so, als ob ich da echt was verwechselt habe. Ich weiß nur noch, dass es im UNterricht bei vielen Verständnisprobleme gab.
Also was ich weiß, dass jede monotone und beschränkte Folge konvergent ist. Und dass eine konvergente Folge eine Folge ist, die einen Grenzwert besitzt. stimmt das so?
Folgen sind zwar schon lange nicht mehr unser Thema, aber mich interessiert trotzdem eine Sache. Und zwar die Begriffe obere/untere Schranke und nach oben/unten beschränkt. Gibt es da einen Unterschied oder sind das nur unterschiedliche Bezeichnungen?

(Tut mir leid, dass ich so vom Thema abweiche, würde mich aber trotzdem über eine antwort freuen)

Vielen Dank

!!!

smoka

17:21 Uhr, 23.02.2010

"Also was ich weiß, dass jede monotone und beschränkte Folge konvergent ist. Und dass eine konvergente Folge eine Folge ist, die einen Grenzwert besitzt. stimmt das so?"
Korrekt.

"Und zwar die Begriffe obere/untere Schranke und nach oben/unten beschränkt. Gibt es da einen Unterschied oder sind das nur unterschiedliche Bezeichnungen?"
Ja es gibt einen Unterschied. Beschränktheit bedeutet, dass Schranken für die Funktion/Folge existieren, davon gibt es unendlich viele.
Eine Schranke ist ein konkreter Wert, der die Funktion/Folge beschränkt.
Bsp.:
-Beschränktheit:

\sin x

ist beschränkt, das ist also eine Eigentschaft einer Funktion

-Schranke:

\frac{π}{3}, 1 0^{5}

und

- 16

sind beispielsweise Schranken für

\sin x

, es sind also konkrete Zahlen.

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