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Nullstelle der Funktion f(x) = x^3-x²-x-1 berechne

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: berechnen, Funktion, Nullstellen

anonymous

17:10 Uhr, 20.11.2010

gdhhhhhhhhhhhhhhh

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Nullstellen (Mathematischer Grundbegriff)
Vielfachheit einer Nullstelle (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Allgemeine Exponentialfunktion - Fortgeschritten
Allgemeine Sinusfunktion
Einführung Funktionen
Nullstellen
Nullstellen bestimmen

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pleindespoir aktiv_icon

17:46 Uhr, 20.11.2010

Cardano oder Newton.

die üblichen Hausmittel reichen hier nicht.

Kosekans aktiv_icon

19:23 Uhr, 20.11.2010

Hallo,

Wenn man die Wahl hat zwischen Newton oder Cardano, dann auf jeden Fall Cardano. Ich würde mich um die restlichen Dezimalstellen betrogen fühlen ;-)

x^{3} - x^{2} - x - 1 = 0

Als erstes muss vor dem

x^{3}

eine 1 stehen. das ist hier schon der Fall. Man hat also eine Gleichung der Form

x^{3} + a \cdot x^{2} + b \cdot x + c = 0

Dann substituiert man

x = y - \frac{a}{3},

also

{(y + \frac{1}{3})}^{3} - {(y + \frac{1}{3})}^{2} - (y + \frac{1}{3}) - 1 = 0,

multipliziert das aus und sortiert nach Potenzen von

y

. Der Witz dabei ist, dass das quadratische Glied herausfällt (das ist immer so) und man die sog. reduzierte Form der kubischen Gleichung erhält:

y^{3} + p \cdot y + q = 0

In diesem Fall ist das

y^{3} - \frac{4}{3} \cdot y - \frac{38}{27} = 0

p

ist also gleich

- \frac{4}{3}

und

q

ist

- \frac{38}{27}

Genauso wie bei quadratischen Gleichungen gibt es bei kubischen Gleichungen eine Diskriminante

D,

von der abhängt wie sich die drei Nullstellen auf die Bereiche der reellen und komplexen Zahlen verteilen. Sie lautet

D := {(\frac{q}{2})}^{2} + {(\frac{p}{3})}^{3}

Im Beispiel ergibt sich

D = {(\frac{- \frac{38}{27}}{2})}^{2} + {(\frac{- \frac{4}{3}}{3})}^{3} = \frac{11}{27} > 0

. Dass die Diskriminante größer als Null ist, bedeutet dass es eine reelle Nullstelle gibt. (Da die Variable der Ausgangsgleichung

x

ist, gehe ich davon aus, dass nur reelle Lösungen gesucht werden.)
Jedenfalls berechnet sich die gesuchte Nullstelle der reduzierten Form zu

y = {(- \frac{q}{2} + \sqrt{D})}^{\frac{1}{3}} + {(- \frac{q}{2} - \sqrt{D})}^{\frac{1}{3}},

wie man da drauf kommt, ist bei Wikipedia beschrieben. Also

y = {(\frac{19}{27} + \sqrt{\frac{11}{27}})}^{\frac{1}{3}} + {(\frac{19}{27} - \sqrt{\frac{11}{27}})}^{\frac{1}{3}}

Wenn man noch etwas Kosmetik betreiben will (teilweises radizieren) erhält man

{(\frac{19}{27} + \sqrt{\frac{11}{27}})}^{\frac{1}{3}} + {(\frac{19}{27} - \sqrt{\frac{11}{27}})}^{\frac{1}{3}} =

{(\frac{19}{27} + \sqrt{3 \cdot \frac{11}{81}})}^{\frac{1}{3}} + {(\frac{19}{27} - \sqrt{3 \cdot \frac{11}{81}})}^{\frac{1}{3}} =

{(\frac{19}{27} + \frac{1}{9} \cdot \sqrt{33})}^{\frac{1}{3}} + {(\frac{19}{27} - \frac{1}{9} \sqrt{33})}^{\frac{1}{3}} =

{(\frac{19}{27} + \frac{3}{27} \cdot \sqrt{33})}^{\frac{1}{3}} + {(\frac{19}{27} - \frac{3}{27} \sqrt{33})}^{\frac{1}{3}}

= \frac{1}{3} \cdot {(19 + 3 \sqrt{33})}^{\frac{1}{3}} + \frac{1}{3} \cdot {(19 - 3 \sqrt{33})}^{\frac{1}{3}}

Zum Schluss muss man noch rücksubstituieren und erhält für

x :

x = \frac{1}{3} \cdot {(19 + 3 \sqrt{33})}^{\frac{1}{3}} + \frac{1}{3} \cdot {(19 - 3 \sqrt{33})}^{\frac{1}{3}} + \frac{1}{3}

Nachlesen kannst du das Ganze unter de.wikipedia.org/wiki/Cardanische_Formeln

Cheers.

PS:

f (x) = x^{3} - x^{2} - x - 1 . .

. bist du sicher, dass nicht eins der drei Minuszeichen ein Plus ist?

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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