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Nullstelle im Intervall?

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Nullstellen

crjlang aktiv_icon

15:56 Uhr, 28.11.2009

Hallo liebe onlinemathe.de user,
gleich mal zur Aufgabe.

Gegeben sei die Menge

G := {x

∈

[0, \frac{π}{2}] | cos x

−

x sin x = 0}

.
Geben Sie an, welche der Aussagen

a 1), a 2), a 3)

richtig ist.

a 1) G

enth¨alt genau ein Element.

a 2) G

ist leer.

a 3) G

enth¨alt unendlich viele Elemente.

so ich habe die gleichung erst mal umgeformt.

cos x

−

x sin x = 0

cos x = x \cdot sin x

1 = x \cdot tan x

(wir dürfen bei unseren prüfungen keinen taschenrechner verwenden, wenn man es doch macht kommt man durch probieren auf die nullstelle rund

0,86)

man sieht sofort dass die gleichung eine lösung hat und da die tangensfunktion periodisch ist...mit der periode

π

...nur das gegebene intervall ist nur

\frac{π}{2}!

d . h

. es kommen nur noch

a 1

und

a 2

in betracht.

wie komme ich jetzt zum richtigen ergebnis?(ohne taschenrechner...nur über pobieren??)

vielen dank,
es grüßt christian

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Nullstellen (Mathematischer Grundbegriff)
Vielfachheit einer Nullstelle (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Allgemeine Exponentialfunktion - Fortgeschritten
Allgemeine Sinusfunktion
Nullstellen
Nullstellen bestimmen
Polynomdivision

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BjBot aktiv_icon

16:13 Uhr, 28.11.2009

Das konkrete Ergebnis, also diese Nullstelle, ist ja (bewusst) gar nicht gesucht.
Man soll eigentlich nur ausschließen.
Wenn man die Intervallgrenzen mal in f(x)=cos(x)-xsin(x) einsetzt erhält man einen positiven und negativen Funktionswert.
Es MUSS damit also schonmal zumindest eine Nullstelle geben, da Stetigkeit ja in jedem Fall gewährleistet ist.
Insofern ist a2 schonmal falsch.
Aber auch a3 ist Quatsch weil wie sollte es in einem beschränktem Intervall bei einer solchen (periodischen) Funktion unendlich viele Nullstellen geben.
Damit kommt dann nur noch a1 in Frage.

Mit auflösen nach x ist hier nicht, es geht nur über ein Näherungsverfahren (Newton)

crjlang aktiv_icon

16:48 Uhr, 28.11.2009

ah super, das mit den grenzen einsetzten habe ich auch gemacht...einmal negativ einmal positiv. der punkt mit der stetigkeit ist entscheidend und macht durchaus sinn^^.

dankeschön,
christian

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