Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Nullstellen

Nullstellen

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: berechnen, Nullstellen

Schnecke18 aktiv_icon

21:13 Uhr, 10.10.2010

Habe Funktion

f (x) = x^{4} - 12 x^{2} + 35

1.Soll Schnittpunkte des Graphen mit x-Achse bestimmen.
Habe als Lösung

x 1 =

Wurzel

5; x 2 = -

Wurzel

5; x 3 =

Wurzel 7 und

x 4 = -

Wurzel 7
Ist das richtig?
Gibt es noch mehr oder sind das alle?

Nun wirds spannend
2.Soll den vorhandenen Funktionsterm

(s . ⊙)

so ergänzen, dass eine neue Funktion

g

entsteht, deren Graph achsensymmetrisch zur y-Achse ist und

u . a

. beide Achsen bei

27

schneidet.
Habe hier keine Peilung. Bitte Schritt für Schritt erklären und tausend Dank im Voraus.

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Nullstellen (Mathematischer Grundbegriff)
Vielfachheit einer Nullstelle (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Allgemeine Exponentialfunktion - Fortgeschritten
Allgemeine Sinusfunktion
Nullstellen
Nullstellen bestimmen
Polynomdivision

Allgemeine Exponentialfunktion - Fortgeschritten
Allgemeine Sinusfunktion
Nullstellen
Nullstellen bestimmen

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 3. Grades

Wie führt man eine Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 3. Grades durch?

Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 5. Grades

Wie führt man eine Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 5. Grades durch?

Nullstellen einer Potenzfunktion bestimmen

Wie bestimmt man die Nullstellen einer Potenzfunktion?

Nullstellen einer Potenzfunktion bestimmen

Wie bestimmt man die Nullstellen einer Potenzfunktion wenn der Exponent

n = 2

oder

n = - 2

ist?

Nullstellen einer allg. Sinusfunktion bestimmen

Wie bestimmt man die Nullstellen einer allgemeinen Sinusfunktion?

Wie bestimmt man die Schnittpunkte einer allgemeinen Sinusfunktion mit der x-Achse?

Nullstellen von Polynomfunktionen

Wie bestimmt man die Nullstellen von Polynomfunktionen?

Wie löst man eine quadratische Gleichung?

Wie löst man eine quadratische Gleichung?

Wie bestimmt man die Nullstellen einer quadratischen Funktion?
Wo schneidet eine Parabel die x-Achse?

Shipwater aktiv_icon

21:19 Uhr, 10.10.2010

Hallo,

Aufgabe 1 ist richtig und das sind auch alle Lösungen. Mehr kann es nicht geben, da ein Polynom vierten Grades höchstens vier Nullstellen hat.
Aufgabe 2 verstehe ich nicht ganz, was ist genau mit "ergänzen" gemeint?

Edit: Da bei 1. nach den Schnittpunkten mit den x-Achsen gefragt ist solltest du besser

N_{1} (- \sqrt{5} | 0), N_{2} (\sqrt{5} | 0), N_{3} (- \sqrt{7} | 0)

und

N_{4} (\sqrt{7} | 0)

angeben.

Gruß Shipwater

Schnecke18 aktiv_icon

21:34 Uhr, 10.10.2010

Tja, genau das ist das Problem. Ich schreibe einfach mal die Frage so auf, wie ich sie bekommen habe:

"Gegeben ist eine Funktion mit

f (x) = x^{4} - 12 x^{2} + 35

Ergänzen Sie den vorhandenen Funktionstern so, dass eine neue Funktion

g

entsteht, deren Graph achsensymmetrisch zur y-Achse ist und

u . a

. beide Achsen bei

27

schneidet."

Das wars. Mehr steht da nicht.
Ist aus meiner letzten Arbeit, haben diese Arbeit zu dritt geschrieben und keiner konnte sie beantworten. Lehrer fragen ist zwecklos, aufgelöst wird nicht nach Rückgabe. Will die Aufgabe aber lösen, sitze schon seit Tagen dran und habe keine Lösung.Macht mich fertig!!!

Die Funktion ist ja schon mal achsensymmetrisch, da Exponenten alle gerade sind.
1.möglicher Ansatz wäre:
-Graph schneidet y-Achse bei

(\frac{0}{35}),

klar.
-Nun denke ich mal, soll die x-Achse bei

- 27

und

27

geschnitten werden.

2.möglicher Ansatz kann aber auch sein:
-Graph schneidet y-Achse bei

(0,27),

müßte dann hinten in der Funktion

... + 27

stehen,
- zweiter Schnittpunkt soll dann bei der x-Achse bei

27

sein

Finde aber für beides keine Lösung

Shipwater aktiv_icon

21:44 Uhr, 10.10.2010

Hallo,

dann würde ich jetzt einfach eine biquadratische Funktion mit y-Achsenabschnitt

27

suchen, die die Nullstelle

27

hat.

f (x) = x^{4} + b x^{2} + 27

damit die Funktion den y-Achsenabschnitt

27

hat.

0 = 27^{4} + b \cdot 27^{2} + 27 \Leftrightarrow b = - \frac{19684}{27}

damit die Funktion die Nullstelle

x = 27

hat.

\Rightarrow f (x) = x^{4} - \frac{19684}{27} x^{2} + 27

Aber keine Ahnung, ob das gefragt war...

Gruß Shipwater

Spieler5 aktiv_icon

21:50 Uhr, 10.10.2010

x^{4} - 12 x^{2} + 35

Ich habs grade mal graphisch probiert, zuerst den Schnittpunkt für die y-Achse hinbiegen:

x^{4} - 12 x^{2} + 27

Die jetzigen Nullstellen sind:

x_{1} = 3

x_{2} = - 3

x_{3} = \sqrt{3}

x_{4} = - \sqrt{3}

wenn wir von 3 auf

27

kommen wollen, muss

x

"9 mal" schwächer steigen, also

{(\frac{x}{9})}^{4} - 12 {(\frac{x}{9})}^{2} + 27

Aber das dürfte nur eine von vielen Möglichkeiten sein.

Schnecke18 aktiv_icon

21:57 Uhr, 10.10.2010

erst mal danke an Spieler5, cooler Ansatz, habs mal durchgerechnet, klappt

m8usa aktiv_icon

22:02 Uhr, 10.10.2010

die 2te übung ist eine umkehraufgabe.
Ansatz : y-achsensymmetrisch

\Rightarrow

gerade Fkt.

\Rightarrow

nur term 4ten, 2ten Grades und konstanter term
1.Angabe

: P (\frac{0}{27})

element

g (x) \Rightarrow

1.gleichung
2.Angabe

: N (\frac{27}{0})

element

g (x) \Rightarrow

2.gl
3.Angabe : tangentensteigung von

g (x)

bei

x = 0

ist gleich

0,

da sonst die symmetrie gebrochen würde

\Rightarrow

3.gl

viel spass beim lösen des

3 x 3

gleichungssystems.

Schnecke18 aktiv_icon

22:02 Uhr, 10.10.2010

Habe durch ewiges rechnen auch so´ne krumme Formel raus:

f (x) = x^{4} - 729,0375 x^{2} + 27

kann mir aber nicht denken, das das Ergebnis so schwierig sein soll.
Aber trotzdem danke für die Hilfe.
Vielleicht gibts ja noch andere Lösungen.

Schnecke18 aktiv_icon

22:12 Uhr, 10.10.2010

Sorry, kann dem nicht folgen.
Denke mal erste Gleichung ist: ax^4-bx^2+27=0
Die zweite eventl.: 27x^4-bx^2+c=0
Dritte Gleichung: ?
Und wie komme ich dann mit den drei Gleichungen weiter?
Bin völlig hilflos.
Bitte gaaaanz langsam erklären.
Bin gleich wieder da, muß kurz zu meiner Oma

m8usa aktiv_icon

22:23 Uhr, 10.10.2010

fail beim einsetzen

=)

klassiker, aber mach dir nix draus....
die unbekannten sind

a, b, c

(nicht

x

oder whatsoever)

Ansatz: g(x)=ax^4+bx^2+c
g´(x)=4ax^3+2bx

1.Angabe:

g (0) = 27 \Rightarrow [g (0) =] 27 = a 0^{4} + b 0^{2} + c \Rightarrow 1 .) c = 27

das war richtig.(reduziert das

3 x 3

gl.sys. schon auf ein

2 x 2,

da eine var durch zufall bereits gefunden)

2.Angabe:

g (27) = 0 \Rightarrow [g (27) =] 0 = a 27^{4} + b 27^{2} + c \Rightarrow 2 .) 27^{4} a + 27^{2} b + 27 = 0

(zum vereinfachen schon mal durch

27

dividieren)

3.Angabe: tu dir selbst den gefallen und probiers nochmal

; P

(achtung jetzt wird in g´(x) eingesetzt; für

x

wert die zahl

0,

für g´ auch die null, da ja keine steigung)

(ok habs mir mal aufgeschrieben, lösung wär:

4 \cdot 0^{3} a + 2 \cdot 0 b = 0,

also ne wahre aussage

0 = 0 \Rightarrow

unendlich viele Lösungen möglich

=)

ja so kanns gehn)

bedeutet gib irgendeine zahl für a vor zb

a = 1

und bestimme das zugehörige

b

aus 2.gl; kannst auch das a aus der ersten aufgabe verwenden und das

b

dazu berechnen.

a, b, c \in g (x)

schreiben.fertig

m8usa aktiv_icon

22:28 Uhr, 10.10.2010

formatierungsfehler in der letzten zeile.

a, b, c

g (x)

schreiben.

a = 1

in 2.gl eingesetzt gibt im übrigen shipwaters lösung

b = - \frac{19684}{27}

.

für

a = - \frac{1}{27^{3}}

folgt

b = 0

für

a = - 1

folgt

b = \frac{19682}{27}

usw. ja da gibts keine eindeutige lösung solang die aufgabenformulierung nicht exakter wird.

BjBot aktiv_icon

23:03 Uhr, 10.10.2010

Ich würde es so verstehen, dass man die Nullstellen aus

1)

beibehalten soll und dann halt direkt mit der Linearfaktordarstellung ansetzt:

g (x) = a \cdot (x^{4} - 12 x^{2} + 35) (x^{2} - 729) = a \cdot (x - \sqrt{5}) \cdot (x + \sqrt{5}) \cdot (x - \sqrt{7}) \cdot (x + \sqrt{7}) \cdot (x - 27) \cdot (x + 27)

Der Graph dazu bleibt in jedem Fall achsensymmetrisch zur y-Achse und durch

g (0) = 27

bekommt man auch noch den passenden Faktor a für den gewünschten y-Achsenabschnitt.

m8usa aktiv_icon

23:09 Uhr, 10.10.2010

naja

g (x)

hat halt dann grad 6. aber ne hübsche grundidee für eine weitere lösung

BjBot aktiv_icon

23:14 Uhr, 10.10.2010

Wenn man den Grad beibehalten möchte kann man analog ohne großen Aufwand vorgehen.
Nur dann wird man nicht drum herum kommen auf ein Nullstellenpaar von

f

zu verzichten bzw es gegen ein anderes zu ersetzen.
Ist halt die Sache wie man dieses "ergänzen" interpretiert.

Schnecke18 aktiv_icon

00:14 Uhr, 11.10.2010

Dankeschön an m8usa und BjBot, versuche mal das Ganze nachzuvollziehen,
wäre nie von allein drauf gekommen.
Bis zum nächsten Mal.

Schnecke18 aktiv_icon

15:19 Uhr, 11.10.2010

Nochmal Danke an alle

803015

802826

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?