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Nullstellen Logarithmusfunktion

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Logarithmus, Nullstellen

Anne10 aktiv_icon

16:11 Uhr, 23.09.2012

Hallo :-)

Ich hab ein paar Probleme beim Nullstellen finden bei folgender Gleichung:

2ln^2(x)-6ln(x)+2=0

folgendes habe ich gerechnet, komme aber nicht auf das richtige Ergebnis:

2 (ln (x) \cdot ln (x))

-6ln(x)=-2 dann:

e

2 (x \cdot x) - 6 x = e^{- 2}

(ich denke, dass bei diesem Schritt irgendwo mein Fehler liegen muss, bin mir da nie sicher)
und dann habe ich eben weitergerechnet mit der PQ-Formel etc.

Liegt bei der Umformung schon mein Fehler?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Nullstellen (Mathematischer Grundbegriff)
Vielfachheit einer Nullstelle (Mathematischer Grundbegriff)
Logarithmusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Rechnen mit Logarithmen
ln-Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Allgemeine Exponentialfunktion - Fortgeschritten
Allgemeine Sinusfunktion
Logarithmusgesetze - Einführung
Nullstellen
Nullstellen bestimmen

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tommy40629 aktiv_icon

16:32 Uhr, 23.09.2012

Hey, Dein 1. ln hatte keinen Numerus.

Ich habe es auf meinem Blatt verbessert, hoffe der Numerus war x².

Anne10 aktiv_icon

17:02 Uhr, 23.09.2012

ich verstehe grade nciht, was du mit Numerus meinst.

tommy40629 aktiv_icon

17:28 Uhr, 23.09.2012

ln(x) x ist der Numerus. Ein guter Lehrer hätte Euch das gesagt, aber nun weiß Du es.

Anne10 aktiv_icon

20:06 Uhr, 23.09.2012

also die Gleichung war ja eigentlich

2ln^2(x)-6ln(x)+2=0 also

2 \cdot ln (x) \cdot ln (x)

und nicht

2 \cdot ln (x^{2})

oder ist das das gleiche?

vulpi aktiv_icon

20:22 Uhr, 23.09.2012

Hallo !
Du brauchst nur die quadratische Gleichung lösen wie immer, nur dass du statt

x

eben

ln x

hast.

Also

2 {ln}^{2} x - 6 ln x + 2 = 0

z := ln x \Rightarrow

2 z^{2} - 6 z + 2 = 0

z^{2} - 3 z + 1 = 0

z_{1}, z_{2}

mit p-q-Formel oder wie auch immer bestimmen, und dann resubstituieren

x = e^{z}

P . S

.
Liegt bei der Umformung schon mein Fehler?
Guck die die Potenz- und Logarithmenregeln nochmal in Ruhe an,
da wirbelt noch einiges durcheinander :-)

lg

Anne10 aktiv_icon

21:52 Uhr, 23.09.2012

Hey :-)

Danke für den Tipp mit der Substitution
hab das jetzt damit gemacht und es kommen dann auch die richtigen Ergebnisse raus, verstehe aber noch nicht ganz, wieso mein Weg oben falsch ist.
Kann man das nicht einfach mit dem

e

machen? ich hab gedacht wenn man

ln (x)

hat und dann

e

macht, dass man dann

x

hat? oder bin ich jetzt völlig auf dem Holzweg?

Schonmal danke ;-)

vulpi aktiv_icon

22:32 Uhr, 23.09.2012

Hallo nochal.

Ja, aber du "exponenzierst" ja einen komplexen (im nicht

ℂ -

Sinne) Ausdruck.
Da sollte man halt wie gesagt die Rechenregeln kennen.

Also um bei deinem Beispiel zu bleiben

2 {(ln x)}^{2} - 6 ln x + 2 = 0

erst mal vereinfachen: (durch

2)

{(ln x)}^{2} - 3 ln x + 1 = 0

{(ln x)}^{2} - 3 ln x = - 1

jetzt muß jede Seite komplett in den Exponenten:

e^{[{(ln x)}^{2} - 3 ln x] = e^{- 1}}

\frac{e^{({(ln x)}^{2})}}{e^{3 ln x}} = e^{- 1} |

Potenzregel:

\frac{e^{a}}{e^{b}} = e^{a - b}

\frac{{(e^{ln x})}^{ln x}}{{(e^{ln x})}^{3}} = e^{- 1} |

Potenzregel:

e^{a \cdot b} = {(e^{a})}^{b}

\frac{x^{ln x}}{x^{3}} = e^{- 1} | e^{ln x} = x

so , nur kommst du mit

x^{ln x} = e^{- 1} x^{3}

nicht viel weiter.

Anne10 aktiv_icon

17:18 Uhr, 24.09.2012

Dankeschön :-)
habe es jetzt kapiert und werde mir die Rechenregeln nochmal angucken :-D)

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