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Nullstellen bei Polarform

Universität / Fachhochschule

Komplexe Zahlen

Tags: Komplexe Zahlen, Nullstellen, Polarform

chiggy aktiv_icon

23:45 Uhr, 31.10.2009

hallo!

wie kann ich nullstellen der polarform ausrechnen?
vlt kann mir das jmd anhand folgender aufgabe erklären:

p (z) = z^{3} - i + 1, z

element der komplexen zahlen

habe mir jetzt einfach mal hingeschrieben, was

z^{3}

ist.

z = | z | \cdot e^{i \cdot φ}

z^{3} = {| z |}^{3} \cdot e^{i \cdot (3 \cdot φ)}

das eingesetzt in die gleichung gibt dann

p (z) = {| z |}^{3} \cdot (cos (3 \cdot φ) + i \cdot sin (3 \cdot φ) - i + 1

jetzt müsste ich das ganze doch einfach mit null gleichsetzen um die nullstellen zu bekommen? also:

0 = {| z |}^{3} \cdot (cos (3 \cdot φ) + i \cdot sin (3 \cdot φ) - i + 1

und dann brauche ich

φ

. hätte mir das jetzt versucht mit dem Hauptsatz auszurechnen aber dazu müsste ich

x

und

y

gegeben haben. hänge hier also an meinem

φ ...

bin für jeden tipp dankbar!!:-)
chiggy

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Nullstellen (Mathematischer Grundbegriff)
Vielfachheit einer Nullstelle (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Allgemeine Exponentialfunktion - Fortgeschritten
Allgemeine Sinusfunktion
Nullstellen
Nullstellen bestimmen
Polynomdivision

Allgemeine Exponentialfunktion - Fortgeschritten
Allgemeine Sinusfunktion
Nullstellen
Nullstellen bestimmen

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DK2ZA aktiv_icon

12:08 Uhr, 01.11.2009

0 = z^{3} - i + 1

z^{3} = - 1 + i

- 1 + i = \sqrt{2} \cdot (cos (\frac{3}{4} \cdot π) + i \cdot sin (\frac{3}{4} \cdot π))

Also:

{| z |}^{3} \cdot (cos (3 \cdot φ) + i \cdot sin (3 \cdot φ)) = \sqrt{2} \cdot (cos (\frac{3}{4} \cdot π) + i \cdot sin (\frac{3}{4} \cdot π))

z_{1} = \sqrt[6]{2} \cdot (cos (\frac{1}{4} \cdot π) + i \cdot sin (\frac{1}{4} \cdot π))

z_{2} = \sqrt[6]{2} \cdot (cos (\frac{1}{4} \cdot π + \frac{2}{3} \cdot π) + i \cdot sin (\frac{1}{4} \cdot π + \frac{2}{3} \cdot π)) =

= \sqrt[6]{2} \cdot (cos (\frac{11}{12} \cdot π) + i \cdot sin (\frac{11}{12} \cdot π)) =

z_{3} = \sqrt[6]{2} \cdot (cos (\frac{1}{4} \cdot π + \frac{4}{3} \cdot π) + i \cdot sin (\frac{1}{4} \cdot π + \frac{4}{3} \cdot π)) =

= \sqrt[6]{2} \cdot (cos (\frac{19}{12} \cdot π) + i \cdot sin (\frac{19}{12} \cdot π))

GRUSS, DK2ZA

chiggy aktiv_icon

13:25 Uhr, 01.11.2009

hallo DK2ZA,
schonmal vielen dank für deine antwort aber könntest du das vlt noch ein bisschen erläutern ich blick da nämlich noch nicht so ganz durch;-)

wieso ist

z^{3} = - 1 + i

? hat das irgentwas mit der konjugiert komplexen form zu tun?

dann die nächste zeile ist ja die anwendung des hauptsatzes für

- 1 + i

? wenn das richtig ist, müsste

- 1 + i

im 2.oder 3. quadranten liegen, woher weis ich das?

DK2ZA aktiv_icon

15:09 Uhr, 01.11.2009

Ganz einfach:

Du willst die Gleichung

0 = z^{3} - i + 1

lösen. Auf beiden Seiten

i - 1

addieren ergibt

z^{3} = - 1 + i

.

Dann:

- 1 + i

liegt im 2. Quadranten. Auf der reellen Achse eins nach links, auf der imaginären eins nach oben.

Der Betrag dieser komplexen Zahl ist

\sqrt{2},

der Winkel ist 135°

= \frac{3}{4} \cdot π

.

Deshalb:

- 1 + i = \sqrt{2} \cdot (cos (\frac{3}{4} \cdot π) + i \cdot sin (\frac{3}{4} \cdot π))

Es gibt drei dritte Wurzeln, die alle den gleichen Betrag haben und die gleichmäßig verteilt auf einem Kreis um den Ursprung liegen,

d . h

. zwischen benachbarten Wurzeln ist jeweils ein Winkel von 120°

= \frac{2}{3} \cdot π

.

Man bestimmt

z_{1},

und für

z_{2}

und

z_{3}

addiert man jeweils

\frac{2}{3} \cdot π

zum Winkel.

GRUSS, DK2ZA

chiggy aktiv_icon

17:40 Uhr, 01.11.2009

ok ich hab jetzt fast alles soweit verstanden, bis auf eins:
Es gibt drei dritte Wurzeln, die alle den gleichen Betrag haben und die gleichmäßig verteilt auf einem Kreis um den Ursprung liegen,

d . h

. zwischen benachbarten Wurzeln ist jeweils ein Winkel von 120°

= \frac{2}{3} π

es ist mir klar dass es 3 dritte wurzeln gibt und die den gleichen betrag haben müssen nur das mit dem kreis kann ich mir nicht vorstellen bzw. wie man weiss dass der winkel 120° ist.

: (

wäre klasse wenn du mir das auch noch erklären könntest, ich weis ich bin ein schwerer fall;-)

chiggy aktiv_icon

18:45 Uhr, 01.11.2009

woher weis ich dass der winkel 135° ist?
in diesem fall ist das ja abzulesen, der vektor verläuft ja wie die 2. winkelhalbierende also mach ich einfach zu den 90° vom ersten quadranten noch

45

dazu aber was rechne ich wenn der winkel nicht abzulesen ist?

DK2ZA aktiv_icon

19:46 Uhr, 01.11.2009

Ganz einfach:

Der Winkel zwischen den dritten Wurzeln ist 120° = 360°/3.

Bei den 5. Wurzeln ist der Winkel dann 360°/5 = 72°.

Auf die 135° kommt man so, wie du es beschrieben hast: 90°

+

45°.

Bei anderen Winkeln machst du am besten eine Skizze und verwendest dann den Arkustangens in einem rechtwinkligen Dreieck. Je nach dem Quadranten, in dem sich das abspielt, musst du dann noch

z . B

. 180° addieren.

GRUSS, DK2ZA

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