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Nullstellen einer Hyperbel mit Funktionsschar

Schüler Realschule, 9. Klassenstufe

Tags: Funktionsscharr, Hyperbel, Nullstellen

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IchWeissNicht

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22:43 Uhr, 06.10.2011

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Hallo zusammen.
Ich hab gerad ein Problem bei der Nulltellenberechnung einer Hyperebel!

Hier erstmal die Aufgabe:

Für jedes

t \in ℝ +

ist eien Funktion

f t

gegeben durch

f t (x) =

(tx²-4) / (x²).
Der Graph von

f

schließt im 1. Quadranten mit den Koordinatenachsen und den Geraden mti den Gleichungen

x = \frac{4}{\sqrt{t}}

und

y = t

eine fläche ein.
Bestimmen sie den Inhalt in Abhängigkeit von

t

.

Ich hab mal ne Skizze versucht anzufertigen.

DIe rote Fläche ist glaub ich gesucht, in Abhängigkeit von

t

.

Um die fläche zu bestimmen wollte ich

A 1 = t \cdot \frac{4}{t}

(Rechteck)

A 2 = \int_{c}^{b}

(tx²-4) / (x²)

d x

A 1 - A 2 = A

von der gewünschten Fläche

c =

Nullstelle von ft(x)!

Die Funktion hab ich schon etwas vereinfacht.

ft(x)= t-4/x²
Nur leider weiß ich nicht wie ich die Nulstelle ausrechnen soll!

Das x² im nenner stört mich irgendwie.
hab ich halt versucht:

t - 4 \cdot x^{- 2}

(das x² in den Zähler geholt)

Nur weiß ich nicht ob ich einfach so wie bei einer normalen quadratischen Gleichung vereinfachen und PQ Formela anwenden kann.

Unbenannt

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Nullstellen (Mathematischer Grundbegriff)
Vielfachheit einer Nullstelle (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Allgemeine Exponentialfunktion - Fortgeschritten
Allgemeine Sinusfunktion
Hyperbeln
Nullstellen
Nullstellen bestimmen

Allgemeine Exponentialfunktion - Fortgeschritten
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Nullstellen
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Antwort

DmitriJakov

DmitriJakov aktiv_icon

22:53 Uhr, 06.10.2011

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Die Nullstelle von

f_{t} (x)

ist dort, wo ihr Zähler Null wird. Du musst also nur untersuchen:

t \cdot x^{2} - 4 = 0

IchWeissNicht

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23:01 Uhr, 06.10.2011

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stimmt.. !
Nur irgendwie weiß ich nicht wie ich das

t

wegbekommen soll.

t*x²-4= 0
Ich kann das

t

nicht so einfach weg-dividieren. bin gerad etwas planlos wie ich weitermachen soll.

Antwort

DmitriJakov

DmitriJakov aktiv_icon

23:07 Uhr, 06.10.2011

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Das ist ja gerade der Witz, dass

t

nicht verschwindet, ja nicht verschwinden sollte. Denn dann würde es ja langweilig.

Dein Integral geht von der Nullstelle von

f (x)

bis zur Geraden

x = \frac{4}{\sqrt{t}}

Die Nullstelle ist bei

x = \sqrt{\frac{4}{t}} = \frac{2}{\sqrt{t}}

So, und jetzt: Stammfunktion finden. Hast Du eine Idee wie sie lauten könnte?

IchWeissNicht

IchWeissNicht aktiv_icon

23:15 Uhr, 06.10.2011

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also ich hab die funktion erstmal vereinfacht:

ft(x)=

t -

4/x²
dann kann ich ja daraus:

t - 4 x^{- 2}

machen. (Eine andere Regelung bei Brüchen haben wir nicht besprochen dehslab form ich so um)

Und davon die stammfunktion ist:

F (x) =

tx+

4 x^{- 1}

?

Antwort

DmitriJakov

DmitriJakov aktiv_icon

23:23 Uhr, 06.10.2011

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Wunderbar :-)

Jetzt müsstest Du eigentlich ohne Probleme zum Ende kommen.

IchWeissNicht

IchWeissNicht aktiv_icon

23:36 Uhr, 06.10.2011

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F (\frac{4}{t}) = 3 t + {(\frac{16}{t})}^{- 1}

F (\frac{2}{\sqrt{t}}) = \frac{2 t}{\sqrt{t}} + \frac{8^{- 1}}{\sqrt{t}}

So richtig?

Antwort

DmitriJakov

DmitriJakov aktiv_icon

23:49 Uhr, 06.10.2011

Antworten

hmmm

F (x) = t \cdot x + 4 \cdot x^{- 1}

F (\frac{4}{\sqrt{t}}) = t \cdot \frac{4}{\sqrt{t}} + 4 \cdot {(\frac{4}{\sqrt{t}})}^{- 1} = 4 \cdot \sqrt{t} + 4 \cdot \frac{\sqrt{t}}{4} = 5 \cdot \sqrt{t}

Jetzt nach diesem Muster:

F (\frac{2}{\sqrt{t}})

IchWeissNicht

IchWeissNicht aktiv_icon

23:52 Uhr, 06.10.2011

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ich schreib mri das mal so auf und mach das bei

\frac{2}{\sqrt{t}}

auch so:
aber ch glaub es ist gerade zu spät damit mein gehirn das noch alles nachvollziehen kann

: (

Trotzdem vielen dank!
Ab jetzt sollte es auch so gheen!

Antwort

DmitriJakov

DmitriJakov aktiv_icon

00:00 Uhr, 07.10.2011

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Viel Erfolg dabei und gute Nacht :-)

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