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Nullstellen und Achsen- Punktsymmetrie - Probleme

Schüler

Tags: Achsensymmetrie, Nullstellen, Punktsymmetrie

Fuenfviertel

21:41 Uhr, 25.09.2012

Hallo zusammen,

ich habe leider noch immer ein Problem mit dem bestimmen von Nullstellen und dem Erkennen, ob eine Funktion Achsen- oder Punktsymmetrisch ist (Oder weder noch).

Ich hatte breits einen Thread zu diesem Thema offen, bei dem mir auch erfolgreich die Polynomdivision beigebracht wurde. Ich wage einmal zu behaupten, dass dieses Thema nicht schwieriger sein kann als mein jetztiges Problem. Zumal ich dazu schon im letzten Thread etwas gelernt habe.

Es geht um folgende Aufgaben:

f : x \to x ² (x - 4) (x - 2) (x + 3)

und

g : x \to x^{3} - 3 x ² - x + 3

Nun soll ich die Nullstellen der beiden Funktionen und ihr Verhalten für

x \to \infty

und

x \to - \infty

bestimmen. Außerdem, ob ein Vorzeichenwechsel stattfindet oder nicht.

Außerdem habe ich noch meine Schwierigkeiten mit dieser Aufgabe:

a)

f_{1} : x \to 2 x^{4} + x ² - 14

f_{2} : x \to x ³ + 4 x + 2

f_{3} : x \to 6 x^{5} - 4 x ³ + x

f_{4} : x \to x (x ² + 1)

f_{5} : x \to \frac{1}{x^{5}}

f_{6} : x \to \frac{1}{x^{4}}

Hier soll ich festellen, ob die Funktionen achsyensymmetrisch zur y-Achse, punktsymmetrisch zum Ursprung oder überhaupt nicht symmetrisch sind.

Zu Aufgabe 1:

a)

f : x \to x ² (x - 4) (x - 2) (x + 3)

Damit der Funktionswert 0 wird sollten die Nullstellen doch eigentlich folgende sein:

x = 0 , x = 4 , x = 2 , x = -3

Oder?

Ob Vorzeichenwechsel oder nicht, richtet sich soweit ich weiß nach der Vielfacheinheit (VFE).
x = 0 VFE = 2
x = 4 VFE = 1
x = 2 VFE = 1
x = -3 VFE = 1

Und nur wenn die Vielfacheinheit eine ungerade Zahl ist, findet ein Vorzeichenwechsel statt oder?
Hieße also, die Nullstellen "x = 4, x = 2 und x = -3" sind von einem Vozeichenwechsel betroffen.

Und da die höchste Potenz der Funktion

f : x \to x ² (x - 4) (x - 2) (x + 3)

x^{5}

ist, gilt:

x \to \infty

Stimmt das?

Zu b)

g : x \to x^{3} - 3 x ² - x + 3

Eigentlich dachte ich ja, dass ich die Nullstellen dieser Aufgabe mit Hilfe der PQ-Formel herausfinden kann. Doch scheint das nicht zu funktionieren und so wurde mir bereits im letztes Thread verraten, dass ich die Funktion zuerst ausmultiplizieren soll und dann mit Hilfe der Polynomdivision die Nullstellen bestimmen soll. Dort wurde mir bereits folgende Division gestellt:

(x³-3x²-x+3):(x-3) =
(Leider habe ich den Weg zu dieser Division nicht so Recht verstanden O,o) Könnte mir vielleicht nochmal jemand helfen, wie man zu dieser Zwischenrechnung überhaupt kommt?

Trotzdem aber schonmal mein Ergebnis:

(x³-3x²-x+3):(x-3) = x² - 1

Nun erkenne ich folgende Nullstellen:

x = 0, x = 1, und x = 3

x = 0 VFE: 2
x = 1 VFE: 1
x = 3 VFE: 1

Damit hat ausschließlich die Nullstele "x = 0" keinen Vorzeichenwechsel.
Und da die höchste Potenz der Funktion

g : x \to x^{3} - 3 x ² - x + 3

x^{7}

ist, geht auch hier die Funktion:

x \to \infty

Stimmt das soweit?

Ich glaube, das reicht ersteinmal mit dem tippen.
Für Aufgabe 2 kann ich ja nach dem (hoffentlich erfolgreichen) Abschließen von Aufgabe 1 meinen Lösungsvorschlag posten.

Ich bin ma so frech und danke Euch schon jetzt für Antworten. :-))

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Nullstellen (Mathematischer Grundbegriff)
Vielfachheit einer Nullstelle (Mathematischer Grundbegriff)
Symmetrie (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Allgemeine Exponentialfunktion - Fortgeschritten
Allgemeine Sinusfunktion
Nullstellen
Nullstellen bestimmen
Polynomdivision
Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Symmetrie

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zockermax aktiv_icon

21:45 Uhr, 25.09.2012

1 a)

NS sind korrekt.

VFE stimmt aber bei einer ungeraden Zahl kommt es zu einem Vorzeichenwechsel. (also bei

- 3,2,4)

Verhalten im Unendlichen:

x \to \infty :

\infty (\infty - 4) (\infty - 2) (\infty + 3) = \infty

x \to - \infty :

\infty (- \infty - 4) (- \infty - 2) (- \infty + 3) = - \infty

Fuenfviertel

21:57 Uhr, 25.09.2012

Danke für die Korrektur.
Da hat sich wohl ein Flüchtigkeitsfehler eingeschlichen :-P)

zockermax aktiv_icon

22:13 Uhr, 25.09.2012

1 b)

Du musst bei dieser Funktion eine Nullstelle erraten, da du

x

nicht einfach ausklammern kannst.

y = x^{3} - 3 x^{2} - x + 3

3 = x^{3} - 3 x^{2} - x

x_{1} = 1 \to

\to

Polynomdivision:

(x^{3} - 3 x^{2} - x + 3) : (x - 1) = x^{2} - 2 x - 3

Jetzt kommen wir an die anderen beiden Nullstellen:

x_{2} = - 1, x_{3} = 3

(also hätte man auch durch

x - 3

dividieren können :-) )

Alle VFE sind ungerade, also bei jeder NS kommt es zu einem VZW. (ist ja

k

bei der Fkt. :-) )

Verhalten im unendlichen:

x \to \infty = \infty

x \to - \infty = - \infty

Fuenfviertel

21:14 Uhr, 27.09.2012

Entschuldigt bitte die späte Antwort!

Vielen Dank zockermax für Deine Korrektur. Das mit den VFE habe ich verstanden und auch das mit den Nullstellen.

Nur noch nicht so ganz deinen Lösungsweg zu 1b). Ich dachte (x+3) ist (auch) eine Nullstelle? Und die kann man ja auch erraten oder?
Und wie kamst du zu der Polynomdivision?
Bzw. ist meine falsch?

Würde mich freuen, wenn du mir das nochmal erklären könntest. :-)

Nun aber erstmal mein Lösungsvorschlag für Aufgabe 2.

a)

f_{1} : x \to 2 x^{4} + x ² - 14

f_{2} : x \to x ³ + 4 x + 2

f_{3} : x \to 6 x^{5} - 4 x ³ + x

f_{4} : x \to x (x ² + 1)

f_{5} : x \to \frac{1}{x^{5}}

f_{6} : x \to \frac{1}{x^{4}}

f (- x) = 2 (- x)^{4} + (- x)^{2} - 14

Ist gleich mit:

2 x^{4} + x^{2} - 14

Also Achsensymmetrisch.

b)

- f (- x) = - (- x^{3} - 4 x + 2)

x^{3} + 4 x + 2

Also Punktsymmetrisch.

c)

- f (- x) = - (6 x^{5} - 4 x^{3} - x)

6 x^{5} - 4 x^{3} + x

Punktsymmetrisch

d)
Weder Punktsymmetrisch noch Achsensymmetrisch

e)
-f(-x) =

- (- \frac{1}{x^{5}})

\frac{1}{x^{5}}

Punktsymmetrisch

f)

\frac{1}{(- x)^{4}}

\frac{1}{x^{4}}

Achsensymmetrisch

Bin mir bei den Lösungen allerdings alles andere als sicher. Wäre klasse, wenn ein erfahrenes Auge sich das mal anschauen könnte. :-)

prodomo aktiv_icon

06:41 Uhr, 28.09.2012

Da sind doch noch einige Fehler drin. Zwei Tips:
Konstante Glieder ohne

x

kannst du als

x^{0}

deuten, gehören also zu den geraden Potenzen. Daher ist

b)

weder...
Funktionen, bei denen der Term aus einem Produkt besteht

(z . B

d)

erst ausmultiplizieren, dann entscheiden.

x (x^{2} + 1) = x^{3} + x,

hat also nur ungerade Potenzen, daher punktsymmetrisch

Fuenfviertel

19:55 Uhr, 28.09.2012

Danke für deine Antwort.
Habe die Tipps zu d) beherzigt. :-)
Aber was meinst du mit "Konstante Glieder ohne x kannst du als x0 deuten, gehören also zu den geraden Potenzen."

Ist also in b) die 2 gleichzuseten mit x0 ?

Und wo stecken noch die anderen Fehler? Oder ist tatsächlich alles falsch? O.o

Und könnte jemand nochmal über meinen vorherigen Thread drübergucken? Genauer über dessen Anfang in Bezug auf Aufgabe 1 ? Die Lösung habe ich anscheinend, doch wie die zustandegekommen ist, weiß ich leider noch nicht so ganz.

Vielen Dank Euch nochmal für Eure Hilfe!

prodomo aktiv_icon

08:07 Uhr, 29.09.2012

Die 2 kannst du als

2 \cdot x^{0}

schreiben, damit hat der Funktionsterm gerade und ungerade Potenzen, ist also weder-noch.

Fuenfviertel

21:10 Uhr, 30.09.2012

Danke für deine Antwort prodomo. Jetzt habe ich auch b) verstanden. :-)

Was mich nun noch interessieren würde ist, wo die Fehler in den anderen Aufgaben stecken. Bzw. ob jemand noch auf die Fragen in meinem vorherigen Thread eingehen könnte.

Dann wäre das Thema rundum abgeschlossen und ich hätte den Lernstoff vollständig verstanden. :-)

prodomo aktiv_icon

10:11 Uhr, 01.10.2012

Das waren alle Fehler. Zur Kontrolle:

a)

und

f)

achsensymmetrisch,

b)

weder-noch, der Rest punktsymmetrisch

Fuenfviertel

23:02 Uhr, 01.10.2012

Ah okay. Dann hab ich wenigstens doch so ein, zwei Aufgaben richtig gelöst.

Vielen Dank für Eure Hilfe. (=

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