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Polynom-Integral mit irreellen Nullstellen(Nenner)

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Integral, Integration, Komplexe Nullstellen, Partialbruchzerlegung, polynom, Polynomdivision

Steffi021 aktiv_icon

17:47 Uhr, 08.06.2009

Hallo!
Ich komme gerade nicht weiter, bin am Üben für Integrale und habe nun eins gefunden, welches aus zwei Polynomen besteht und Nullstellen im Nenner hat, die nicht reell sind

(x_{01} = x_{02} = \pm 0,5 + 1,65 ... i; x_{03} = - 1)

Wie muss ich damit umgehen? Ich werd daraus nicht schlau. Wie funktioniert hier die Partialbruchzerlegung?

Aufgabe ist:

\int \frac{x^{3} + 2 x + 2}{x^{3} + 2 x^{2} + 4 x + 3} d x

nach Polynomdivision komme ich auf:

1 + \frac{- 2 x^{2} - 2 x - 1}{x^{3} + 2 x^{2} + 4 x + 3}

Habe die Lösung auf dieser Seite hier gefunden:
http//www26.wolframalpha.com/input/?i=(x%C2%B3%2B2x%2B2)%2F(x%C2%B3%2B2x%C2%B2%2B4x%2B3)

Er rechnet dann mit

- \frac{5 x}{3 (x^{2} + x + 3)} - \frac{1}{3 (x + 1)} + 1

weiter. Aber darauf muss ich ja erstmal durch Partialbruchzerlegung kommen, was ich aber alleine nicht schaffe

: (

Ich hoffe, ihr könnt mir helfen :-)

Viele Grüße,
Steffi

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Polynomdivision
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Grenzwerte im Unendlichen
Nullstellen
Polynomdivision
Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Nullstellen
Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Einführung

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

m-at-he

00:43 Uhr, 14.06.2009

Hallo,

wenn Du die Lösung siehst, dann wirst Du denken: "Logisch, da hätte ich selber drauf kommen können":

\frac{p (x)}{q (x)}, n_{p} =

Grad(p(x))

<

Grad(q(x))

= n_{q}

alles reele Nullstellen: Man macht den Ansatz

\sum_{k = 1}^{n_{q}} (\frac{A_{k}}{x - x_{k}})

Durch Koeffizientenvergleich findet man die

A_{k} .

Teilweise komplexe Nullstellen: Anzahl der komplexen Nullstellen ist

n_{k; q},

Anzahl der reelen Nullstellen ist

n_{r; q},

es gilt:

n_{k; q} + n_{r; q} = n_{q}

Mit jeder komplexen Nullstelle

x_{k}

ist auch die konjugiert komplexe

\bar{x_{k}}

eine Nullstelle. Man bildet für jedes Paar aus komplexer Nullstelle und konjugiert komplexer Nullstelle den Term

(x - x_{k}) \cdot (x - \bar{x_{k}})

und macht den Ansatz:

\sum_{k = 1}^{\frac{1}{2} \cdot n_{k; q}} (\frac{A_{k} \cdot x + B_{k}}{(x - x_{k}) \cdot (x - \bar{x_{k}})}) + \sum_{k = n_{k; q} + 1}^{n_{q}} (\frac{A_{k}}{x - x_{k}})

Durch Koeffizientenvergleich findet man die

A_{k}

und

B_{k} .

Bei Dir:

\frac{- 2 \cdot x^{2} - 2 \cdot x - 1}{x^{3} + 2 \cdot x^{2} + 4 \cdot x + 3}

= \frac{A_{1} \cdot x + B_{1}}{x^{2} + x + 3} + \frac{A_{2}}{x + 1}

= \frac{(A_{1} \cdot x + B_{1}) \cdot (x + 1)}{x^{2} + x + 3} + \frac{A_{2} \cdot (x^{2} + x + 3)}{x + 1}

= \frac{A_{1} \cdot x^{2} + B_{1} \cdot x + A_{1} \cdot x + B_{1}}{(x^{2} + x + 3) \cdot (x + 1)} + \frac{A_{2} \cdot x^{2} + A_{2} \cdot x + A_{2} \cdot 3}{(x^{2} + x + 3) \cdot (x + 1)}

= \frac{A_{1} \cdot x^{2} + B_{1} \cdot x + A_{1} \cdot x + B_{1} + A_{2} \cdot x^{2} + A_{2} \cdot x + A_{2} \cdot 3}{x^{3} + 2 \cdot x^{2} + 4 \cdot x + 3}

= \frac{(A_{1} + A_{2}) \cdot x^{2} + (B_{1} + A_{1} + A_{2}) \cdot x + (B_{1} + 3 \cdot A_{2})}{x^{3} + 2 \cdot x^{2} + 4 \cdot x + 3}

\Leftrightarrow - 2 \cdot x^{2} - 2 \cdot x - 1 = (A_{1} + A_{2}) \cdot x^{2} + (B_{1} + A_{1} + A_{2}) \cdot x + (B_{1} + 3 \cdot A_{2})

\Leftrightarrow - 2 = A_{1} + A_{2}

und

- 2 = B_{1} + A_{1} + A_{2}

und

- 1 = B_{1} + 3 \cdot A_{2}

Aus den ersten beiden Gleichungen sieht man

B_{1} = 0,

das ergibt in der dritten Gleichung

A_{2} = - \frac{1}{3}

und das wiederum in der ersten Gleichung

A_{1} = - \frac{5}{3}

Probe:

\frac{- 2 \cdot x^{2} - 2 \cdot x - 1}{x^{3} + 2 \cdot x^{2} + 4 \cdot x + 3}

= \frac{- \frac{5}{3} \cdot x}{x^{2} + x + 3} + \frac{- \frac{1}{3}}{x + 1}

= - \frac{1}{3} \cdot (\frac{5 \cdot x}{x^{2} + x + 3} + \frac{1}{x + 1})

= - \frac{1}{3} \cdot (\frac{5 \cdot x \cdot (x + 1)}{(x^{2} + x + 3) \cdot (x + 1)} + \frac{x^{2} + x + 3}{(x^{2} + x + 3) \cdot (x + 1)})

= - \frac{1}{3} \cdot \frac{5 \cdot x^{2} + 5 \cdot x + x^{2} + x + 3}{x^{3} + 2 \cdot x^{2} + 4 \cdot x + 3}

= - \frac{1}{3} \cdot \frac{6 \cdot x^{2} + 6 \cdot x + 3}{x^{3} + 2 \cdot x^{2} + 4 \cdot x + 3}

= \frac{- 2 \cdot x^{2} - 2 \cdot x - 1}{x^{3} + 2 \cdot x^{2} + 4 \cdot x + 3}

Steffi021 aktiv_icon

09:09 Uhr, 15.06.2009

Dankeschön!
Hab es dann aber doch noch selbst geschafft kurz bevor du die Antwort geschrieben hast ;-)

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