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Polynom - Nullstellen gegeben

Universität / Fachhochschule

Polynome

Tags: Komplex, Nullstellen, polynom

MrVogelkind aktiv_icon

22:01 Uhr, 26.02.2014

Hallo zusammen!

Hab hier ein Problem, bei dem ich nicht weiterkomme.
Die Aufgabe lautet: Bestimmen Sie alle Polynome 3. Grades mit reellen Koeffizienten, welche die Nullstellen

x 1 = 3

und

x 2 = 2 i

besitzen.

Ich weiß jetzt, dass das Polynom folgende Form haben muss:

a \cdot x^{3} + b \cdot x^{2} + c \cdot x + d = 0

Aber wie geht es weiter? Könnte mir jemand helfen?

Gruß,
Karl

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Nullstellen (Mathematischer Grundbegriff)
Vielfachheit einer Nullstelle (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Allgemeine Exponentialfunktion - Fortgeschritten
Allgemeine Sinusfunktion
Nullstellen
Nullstellen bestimmen
Polynomdivision

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Respon

22:04 Uhr, 26.02.2014

Kennst du den "Vietaschen Wurzelsatz" ?

MrVogelkind aktiv_icon

04:13 Uhr, 06.03.2014

Danke für den Hinweis! Hab mich jetzt ein wenig eingelesen und bin kurz davor den Lösungsweg zu verstehen. Also es sieht nun so aus: Ich weiß, dass der Vietasche Wurzelsatz besagt, dass ich ein Polynom

n

-ter Ordnung mithilfe von

n

Nullstelle berechnen kann. Für

z . B

. ein Polynom 3. Grades wäre das:

(x - x 1) \cdot (x - x 2) \cdot (x - x 3) = x^{3} - (x 1 + x 2 + x 3) \cdot x^{2} + (x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3) \cdot x - x 1 x 2 x 3

. Doch in meiner Aufgabe habe ich ja nur zwei Nullstellen und es wird ein Polynom dritter Ordnung verlangt. Was gilt es in diesem Fall zu tun?

Respon

07:43 Uhr, 06.03.2014

In der Angabe wird dezidiert darauf hingewiesen, dass die Koeffizienten reell sind.
Die bekannten "Wurzelfaktoren"

(x - x_{i})

sind hier

(x - 2 \cdot i)

und

(x - 3)

.

Wären nun die dritte Lösung eine reelle Zahl, so ergäbe

(x - 3) \cdot (x - 2 \cdot i) \cdot (x - x_{3})

einen Term mit komplexen Koeffizienten.

\Rightarrow

Hat ein Polynom nur reele Koeffizienten und ist eine Nullstelle eine komplexe Zahl, so MUSS auch die dazu konjugiert komplexe Zahl Nullstelle sein.
Also

x_{1} = 3

x_{2} = 2 \cdot i

x_{3} = - 2 \cdot i

\Rightarrow (x - 3) \cdot (x - 2 \cdot i) \cdot (x + 2 \cdot i) = (x - 3) \cdot (x^{2} + 4) = x^{3} - 3 \cdot x^{2} + 4 \cdot x - 12

funke_61 aktiv_icon

07:47 Uhr, 06.03.2014

Edit: Habe zunächst falsch überlegt, da ich übersehen hatte, dass die Koeffizienten reell sein müssen.

Aber kann es sein, dass noch ein Paramter fehlt, und der Ansatz lauten müsste:

a (x - 3) (x - 2 i) (x + 2 i)

da ALLE Polynome mit den gegebenen Nullstellen gesucht sind
?

Respon

09:07 Uhr, 06.03.2014

@funke_61
Dieser Faktor

(z . B

. "a"

\neq 0)

ist natürlich vollkommen korrekt. Ich habe ja nur auf die Frage bezüglich der dritten Nullstelle geantwortet.
Besagter Faktor bewirkt eine Vergößerung bzw. Verkleinerung der entsprechenden Funktionswerte. Da die Funktionswerte der Nullstellen aber 0 sind, beeinflusst der Faktor nicht den Wert der Nullstellen.

MrVogelkind aktiv_icon

02:07 Uhr, 07.03.2014

Danke für die Hilfe! Nun ist alles klar.

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