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homogenes Polynom 2.Grades in 3 variablen Nullstel

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Polynome

Tags: homogenes Polynom 2. Grades, Nullstellen

 
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Mittwoch

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14:53 Uhr, 25.05.2013

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Hallo!

Ist folgende Aussage richtig?

Seien p und q homogene Polynome zweiten Grades in drei Variablen über einem (beliebigen) Körper K (ich kann auch char(K)\neq2 voraussetzen), welche dieselben Nullstellenmenge besitzen. Dann unterscheiden sich p und q bloß um einen Faktor, also p=k*q für ein k\inK.

In Matrizenschreibweise:
Die homogenen Polynome zweiten Grades über K entsprechen bijektiv den symmetrischen Matrizen über K:

ax_1^2+2bx_1x_2+cx_2^2+2dx_0x_1+2ex_0x_2+fx_0^2\mapsto\left(\begin{eqnarray}f&d&e\\d&a&b\\e&b&c\end{eqnarray}\right)

, denn

Q(x)=ax_1^2+2bx_1x_2+cx_2^2+2dx_0x_1+2ex_0x_2+fx_0^2=\left(\begin{eqnarray}x_0&x_1&x_2\\\end{eqnarray}\right)\times\left(\begin{eqnarray}f&d&e\\d&a&b\\e&b&c\end{eqnarray}\right)\times\left(\begin{eqnarray}x_0\\x_1\\x_2\end{eqnarray}\right)=x^t\timesA_Q\timesx

Also lässt sich die obige Frage auch so formulieren:


Ist folgende Aussage richtig?

Seien A,B symmetrische Matrizen über K. Dann gilt
x^tAx=0\iffx^tBx=0\Rightarrow\existsk\inK\setminus\{0\}:A=k*B


Und noch eine Zusatzfrage: Wie zeigt man, dass für eine symmetrische Matrix A über einem Körper K, A nicht die Nullmatrix, immer ein Vektor x existiert, sodass x^tAx\neq0?

Danke an alle Leser und Helfer!
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Nullstellen (Mathematischer Grundbegriff)
Vielfachheit einer Nullstelle (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
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Antwort
matheleia

matheleia aktiv_icon

12:37 Uhr, 02.06.2013

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Hallo!

Ist folgende Aussage richtig?

Seien p und q homogene Polynome zweiten Grades in drei Variablen über einem (beliebigen) Körper K (ich kann auch char(K)≠2 voraussetzen), welche dieselben Nullstellenmenge besitzen. Dann unterscheiden sich p und q bloß um einen Faktor, also p=k∗q für ein k∈K.

In Matrizenschreibweise:
Die homogenen Polynome zweiten Grades über K entsprechen bijektiv den symmetrischen Matrizen über K:

ax12+2bx1x2+cx22+2dx0x1+2ex0x2+fx02↦(fdedabebc)

, denn

Q(x)=ax12+2bx1x2+cx22+2dx0x1+2ex0x2+fx02=(x0x1x2)×(fdedabebc)×(x0x1x2)=xt×AQ×x

Also lässt sich die obige Frage auch so formulieren:


Ist folgende Aussage richtig?

Seien A,B symmetrische Matrizen über K. Dann gilt
xtAx=0⇔xtBx=0⇒∃k∈K\{0}:A=k∗B


Und noch eine Zusatzfrage: Wie zeigt man, dass für eine symmetrische Matrix A über einem Körper K, A nicht die Nullmatrix, immer ein Vektor x existiert, sodass xtAx≠0?

Danke an alle Leser und Helfer!
Mittwoch

Mittwoch aktiv_icon

13:20 Uhr, 02.06.2013

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Ach so: ich habe einen Fehler mit dem mathecode gemacht - danke fürs Ausbessern!
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