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Polynomielle Funktion, Intervallhalbierung

Universität / Fachhochschule

Sonstiges

Tags: Näherung, Nullstellen

Lexiii92 aktiv_icon

17:59 Uhr, 28.11.2013

Ein herzliches hallo!

Meine Aufgabe: Betrachten wir die polynomielle Funktion

p : ℝ \to ℝ

gegeben durch

p (x) = x^{5} - 6 x + 7

. Bestimmen Sie durch Intervallhalbierung einen Näherungswert

b \in ℝ

für eine Nullstelle von

p

mit Genauigkeit

\frac{1}{10}, d . h

| b - a | < \frac{1}{10},

wobei

a \in ℝ

die tatsächlich Nullstelle von

p

sei.

Also ich würde gerne einige stichhaltige Tipps hier beitragen, aber ich habe keinen Schimmer wo und wie ich anfangen soll.

polynomielle Funktion

p : ℝ \to ℝ

p (x) = x^{5} - 6 x + 7

mit Intervallhalbierung soll ich einen Näherungswert

b

bestimmen für eine Nullstelle von

p

mit Genauigkeit

\frac{1}{10}

wobei

| b - a | < \frac{1}{10}

und

a \in ℝ

die tatsächlich Nullstelle von

p

sei.

Jetzt habe ich die Aufgabenstellung paraphrasiert und keinen besseren Beitrag dazugeleistet.

Ich frage mich welche Nullstelle ich dann verwenden soll? Zuerst muss ich diese ja dann wohl bestimmen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Nullstellen (Mathematischer Grundbegriff)
Vielfachheit einer Nullstelle (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Allgemeine Exponentialfunktion - Fortgeschritten
Allgemeine Sinusfunktion
Nullstellen
Nullstellen bestimmen
Polynomdivision

Allgemeine Exponentialfunktion - Fortgeschritten
Allgemeine Sinusfunktion
Nullstellen
Nullstellen bestimmen

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Mathe-Steve aktiv_icon

21:16 Uhr, 28.11.2013

Hallo,

berechne p(-2) und p(-1). Was sagen Dir die Ergebnisse?

Gruß

Stephan

Lexiii92 aktiv_icon

21:33 Uhr, 28.11.2013

Abend Steve, danke für die Nachricht.

p (- 1)

und

p (- 2)

p (- 2) = {(- 2)}^{5} + (- 6) \cdot (- 2) + 7 = - 32 + 12 + 7 = - 13

Wenn ich mich nicht verrechnet habe.

und

p (- 1) = {(- 1)}^{5} + (- 6) \cdot (- 1) + 7 = - 1 + 6 + 7 = 13

Kommt als Zahl

13

heraus nur das Vorzeichen ist anders.

Was mir das sagen soll? Naja einmal ist im Punkt

p (x = - 1) = 13

und einmal ist die Funktion im Punkt

p (x = - 2) = - 13

.

Irgendwelche Schlüsse hm? Eins ist klar die Punkte liegen sehr weit auseinander und meine Vermutung wäre, dass es ein Sprung ist, aber weiß nicht.

Mathe-Steve aktiv_icon

21:36 Uhr, 28.11.2013

Wenn der eine Wert positiv und der andere negativ ist, dass ist ein Wert dazwischen null.

Berechne nun p(-1,5) und entscheide, in welchem der beiden Intervall [-2;-1.5] oder [-1.5 oder -1] die Nullstelle liegt.

Lexiii92 aktiv_icon

21:54 Uhr, 28.11.2013

p (- 2) = {(- 2)}^{5} + (- 6) \cdot (- 2) + 7 = - 32 + 12 + 7 = - 13

p (- 1,5) = {(- 1,5)}^{5} + (- 6) \cdot (- 1,5) + 7 = - 7 \frac{19}{32} + 9 + 7 = 8,40

und

p (- 1) = {(- 1)}^{5} + (- 6) \cdot (- 1) + 7 = - 1 + 6 + 7 = 13

Die Nullstelle muss dann im Intervall

[- 2, - 1,5]

liegen.

Mathe-Steve aktiv_icon

21:57 Uhr, 28.11.2013

Genau, und jetzt halbierst Du diese Intervall wieder und schaust wieder in welcher älfte die Nullstell liegen muss, solange bis das Intervall nicht breiter als 1/10 ist.

Lexiii92 aktiv_icon

22:06 Uhr, 28.11.2013

So lange bis das Intervall nicht breiter als

\frac{1}{10}

ist? Wie meinst du das?

Wie machst du das denn an den Werten fest, dass die Nullstelle dort liegen muss?

Ich hab jetzt intuitiv mich dafür entschieden.

Also jetzt das Intervall halbieren, aber wie beide Werte halbieren oder das Intervall zuvor ging ja von

[- 2, - 1,5]

Also um

- 0,5

ist der Werteunterschied

Soll dann wäre jeweils um

0,25

die Verkleinerung des Intervalles die Hälfte sprich? Was rede ich da bloß

: (

Mathe-Steve aktiv_icon

22:09 Uhr, 28.11.2013

Die Nullstelle liegt immer in dem Intervall in dem sichdas Vorzeichen der Werte ändert.

Lexiii92 aktiv_icon

22:16 Uhr, 28.11.2013

Ja stimmt, andersrum macht's wenig Sinn. Wie halbiere ich denn jetzt das Intervall ich bin bisschen verwirrt.

Mathe-Steve aktiv_icon

22:17 Uhr, 28.11.2013

(linke ecke + rechte ecke ) / 2

Lexiii92 aktiv_icon

22:33 Uhr, 28.11.2013

Also von

[- 2, - 1,75]

???

Mathe-Steve aktiv_icon

22:35 Uhr, 28.11.2013

nimm einen Taschenrechner und rechne ((-2)+(-1,75))/2

Lexiii92 aktiv_icon

22:40 Uhr, 28.11.2013

Ja ist

- 1 \frac{7}{8},

aber was ist dann das "halbierte" Intervall? Und wie beachte ich die

\frac{1}{10}

?

Wie gehe ich dann weiter voran?

Atlantik aktiv_icon

04:33 Uhr, 30.11.2013

Lexiii92

21 : 33

Uhr,

28.11.2013

"und

p (- 1) = {(- 1)}^{5} + (- 6) \cdot (- 1) + 7 = - 1 + 6 + 7 = 13

- 1 + 6 + 7 \neq 13

mfG

Atlantik

Atlantik aktiv_icon

05:36 Uhr, 30.11.2013

Eine Zeichnung mit Text ist oftmals mehr Wert als viele Worte.

mfG

Atlantik

Zeichnung:

Lexiii92 aktiv_icon

00:52 Uhr, 01.12.2013

- 1 + 6 + 7 = 12 . .

.

Mein hauptsächliches Problem ist, dass ich nicht weiß wie ich es umsetzen soll?
Ich soll mich der Nullstelle nähern, mit den gegebenen Vorschriften, jedoch weiß ich nicht wie ich die Intervalle immer und immer wieder halbieren soll? Oder anders gesagt wie oft soll ich sie halbieren, vllt muss ich gar nicht so oft die Intervalle halbieren?

Die Bedingung lautet ja einen Näherungswert

b \in ℝ

zu bestimmen für eine Nullstelle

p

mit Genauigkeit

\frac{1}{10}

also

| b - a | < \frac{1}{10}

wobei

a \in ℝ

die tatsächliche Nullstelle von

p

sei.

Ich muss also eigentlich zwei Sachen wissen:

1. wo meine Nullstelle ist.
2. einen Wert finden, der die Differenz der Nullstelle mit meinen

b < \frac{1}{10}

macht.

Aber wie realisiere ich das?

Atlantik aktiv_icon

05:57 Uhr, 01.12.2013

Schau mal hier:

mathe-seite.de/bsp_player.php?video=Finale%20Filme/A_32_03_01_Intervallhalbierung_Bsp1.mp4&e1=3&e2=28&e3=48&num=1

mfG

Atlantik

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