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Probleme bei der pq - Formel

Schüler , 9. Klassenstufe

Tags: Extrema, Formel, Ganzrationale Funktionen

Meli497 aktiv_icon

20:23 Uhr, 16.02.2015

Guten Tag allerseits,
Ich schreibe demnächst Abitur und bin schon am Üben. Heute beim Lernen sitze ich nun schon seit

30

minuten an einem lächerlichen Problem der pq - Formel und ich komme einfach nicht auf die Lösung.
Gegeben ist die Funktion:

\frac{1}{2} x^{3} - 3 t x^{2} + 4 (t^{2} - 1) x + 10^{2}

Ich muss nun die Extrema für alle

t

ausrechnen und beweisen, dass diese zwei Extrema besitzt. Nach der 1. Ableitung, die

f' (x) = \frac{3}{2} x^{2} - 6 t x + 4 (t^{2} - 1)

lautet, muss ich das mit der pq Formel lösen. Also die gesamte Gleichung durch

\frac{3}{2}

geteilt oder mal

\frac{2}{3}

genommen und in die Formel eingesetzt.
In der Lösung sieht das nun so aus:

6 t^{2} \pm \sqrt{\frac{36 t^{2} - 4 \cdot 1.5 \cdot 4 (t^{2} - 1)}{3}}

Und mein Problem ist nun, dass ich ums Verrecken nicht drauf komme, wie man auf "4*1,5" kommt.Der Rest macht alles Sinn und so habe ich das Problem auch gelöst. Nur diese einzelne Zeile will mir nicht in den Kopf gehen? Kann mir jemand weiterhelfen?
Vielen Dank

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Mitternachtsformel
Extrema (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Extrema / Terrassenpunkte

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Respon

20:30 Uhr, 16.02.2015

Vermutlich möchtest du die erste Ableitung 0 setzen.

\frac{3}{2} \cdot x^{2} - 6 \cdot t \cdot x + 4 \cdot (t^{2} - 1) = 0

Meli497 aktiv_icon

20:32 Uhr, 16.02.2015

Ja das ist klar, das ist ja die notwendige Bedingung. Jedoch weiß ich immer noch nicht, was das mit dem Mittelteil

(4 \cdot 1,5)

zu tun hat.

Respon

20:35 Uhr, 16.02.2015

\frac{3}{2} \cdot x^{2} - 6 \cdot t \cdot x + 4 \cdot (t^{2} - 1) = 0

| \cdot \frac{2}{3}

x^{2} - 4 \cdot t + \frac{8}{3} \cdot (t^{2} - 1) = 0

\Rightarrow x_{1,2} = 2 \cdot t \pm \sqrt{4 \cdot t^{2} - \frac{8}{3} (t^{2} - 1)}

x_{1} = . .

x_{2} = . .

Respon

20:48 Uhr, 16.02.2015

Und deine oben genannte Lösung hast du falsch abgeschrieben. Es sollte sein:

\frac{6 \cdot t \pm \sqrt{36 \cdot t^{2} - 4 \cdot 1,5 \cdot 4 \cdot (t^{2} - 1)}}{3}

Meli497 aktiv_icon

20:48 Uhr, 16.02.2015

Ja stimmt macht Sinn. Ich hab jedoch noch eine Verständnisfrage, dann kann ich beruhigt schlafen :-)
In der Lösung steht zusammengefasst am Ende:

2 t \pm \sqrt{4 t^{2} + 8}

Würde es dann bei dir nicht zusammengefasst in der Wurzel:

\frac{4 t^{2}}{3}

heißen und

+ \frac{8}{3}

Sorry für die wahrscheinlich dumme Frage
Danke

Respon

20:54 Uhr, 16.02.2015

x_{1,2} = 2 \cdot t \pm \sqrt{\frac{4 \cdot t^{2} + 8}{3}}

Meli497 aktiv_icon

20:55 Uhr, 16.02.2015

Ok natürlich, ist einleuchtend, Vielen Dank für die Geduld :-)

Respon

20:55 Uhr, 16.02.2015

Beachte die Aufgabenstellung !
" ...und beweisen, dass diese zwei Extrema besitzt. "
Eine quadratische Gleichung hat entweder zwei, eine oder gar keine Lösung. Warum muss es hier immer ( für jedes