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Projektion von einem Punkt auf eine Gerade im R^3

Universität / Fachhochschule

Vektorräume

Tags: eben, Gerade, Projektion, Punkt, Schnittpunkt, Vektor, Vektorraum

CloudLi aktiv_icon

18:45 Uhr, 18.02.2016

Guten Abend,

kurz zu meiner Aufgabe:
"Sei g die Gerade durch die Punkte P = (3, 4, -1) und Q = (1, -2, 1) im R3. Bestimmen Sie die Koordinatenform einer Ebene E, die senkrecht zu g ist und den Punkt R = (2, 2, 2) enthält."

Mein Plan:
Den Punkt R auf die Gerade Projektieren um an den Schnittpunkt von Ebene und Geraden bzw. einen zweiten Punkt der Ebene zu kommen.

Problem:
Ich kenne nur die Methode zur Projektion von Punkt R auf einen Punkt B aber nicht von Punkt R auf eine Gerade.

Könnte mir jemand sagen ob ich auf dem richtigen Weg bin?
Falls ja wäre es sehr nett wenn mir jemand bei der Projektion von R auf g auf die Sprünge helfen könnte. :-)

Wenn es doch gebraucht wird:
Gerade
Parameterform: g: (3, 4, -1)+u*(-2, -6, 2)
Koordinatenform g: 1 = x - y - 2z
Normalenvektor von g: n = (1, -1, -2)
Länge von g: ||n|| = root(6)

Ebene
R = (2, 2, 2)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Schnittpunkte bestimmen

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ebene Geometrie - Einführung
Geraden im Raum
Grundbegriffe der ebenen Geometrie
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Normalenform)
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Parameterform)
Lineare Gleichungssysteme
Parallelverschiebung
Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Nullstellen

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

rundblick aktiv_icon

20:07 Uhr, 18.02.2016

.
"Könnte mir jemand sagen ob ich auf dem richtigen Weg bin?"

hm .. dein Weg ist suboptimal ..
...gut und brauchbar ist nur ->" Gerade Parameterform:

g : (3, 4, - 1) + u \cdot (- 2, - 6, 2) .

.

UND NOCHWAS :

1)

\to

"Koordinatenform

g : 1 = x - y -

2z"

\Rightarrow

... ... .

. FÜR GERADEN IM RAUM gibt es KEINE Koordinatenform

... ... ... ... ... ...

!!

2)

"Normalenvektor von

g : n = (1, - 1,

-2)"

\Rightarrow

... .

. zu einer Geraden im Raum gibt es NICHT DEN Normalenvektor .. !

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

"Ebene

E,

die senkrecht zu

g

ist und den Punkt

R = (2, 2, 2)

enthält."

\to

...da weisst du doch von

E

einen Punkt und einen Normalenvektor von

E

(Tipp:

g

senkrecht

E!)

? was willst du denn noch mehr .. schreib also schlicht sofort eine
Koordinatengleichung für

E

auf

\to . .

.

.

CloudLi aktiv_icon

20:55 Uhr, 18.02.2016

Oh nein oh nein ich Dödel, ... okay eine Gerade die orthogonal zur Ebene ist = Normalenvektor.
Ich hätte vielleicht mal früher drüber nachdenken sollen was ein Normalenvektor überhaupt ist.

Okay um das ganze abzuschließen...

bedeutet das, ich kann so vorgehen?

g : (3, 4, - 1) + u * (- 2, - 6, 2)

3 + 1 * (- 2) = 1

4 + 1 * (- 6) = - 2

- 1 + 1 * (2) = 1

Also ist der/ein Normalenvektor der Ebene n = (1, -2, 1)?

E : x - 2 y + z = b

Wo man durch Einsetzen von R = (2, 2, 2) auf:
2-4+2 = b = 0 kommt.

E : x - 2 y + z = 0

Ist das so richtig?

abakus

21:08 Uhr, 18.02.2016

"Den Normalenvektor" gibt es nicht. Es gibt unendlich viele Normalenvektoren.
Der Richtungsvektor der Geraden ist ein MÖGLICHER Normalenvektor der Ebene.

(- 2, - 6, 2)

kann also als Normalenvektor dienen, ebenso

(1, 3, - 1)

Stephan4

21:08 Uhr, 18.02.2016

Die Projektionsformel findest Du hier:
de.wikipedia.org/wiki/Formelsammlung_Analytische_Geometrie#Projektionen_2

Deine Koordinatenform von

g

ist nicht richtig. Es gibt für geraden keine solche Koordinatenform.

Der von Dir notierte Normalvektor zu

g

ist OK, was eine skalare Multiplikation mit dem Richtugsvektor

(= 0)

bestätigt. Aber es ist nicht der Normalvektor, sonder einer von vielen.

Nun zur Ebene:
Mit einem Punkt

R

und dem Normalvektor der Ebene, der ja der Richtungsvektor der Geraden ist, kann man die Ebenengleichung aufstellen, indem man das Skalarprodukt des Normalvektors der Ebene, also

\vec{P Q},

mit dem Vektor von

R

zu einem beliebigen Punkt

X

der Ebene, also

\vec{R X},

Null setzt. Diese Vektoren stehen ja normal aufeinander.

\vec{P Q} \cdot \vec{R X} = 0

Ein bisschen Rechnen und Umformen ergibt:

\vec{P Q} \cdot (\vec{X} - \vec{R}) = 0

\vec{P Q} \cdot \vec{X} = \vec{P Q} \cdot \vec{R}

Das ist die Ebene in Vektorform:

(\begin{matrix} - 2 \\ - 6 \\ 2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 2 \\ - 6 \\ 2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{matrix})

Ausgerechnet erhält man die Ebene in Koordinatenform:

- 2 x - 6 y + 2 z = - 12

Alles klar?

:-)

CloudLi aktiv_icon

21:20 Uhr, 18.02.2016

Okay danke,
dann habe ich es in meiner letzten Antwort doch noch nicht richtig gehabt.

Sollte jetzt aber passen, mit dem Wissen das der Richtungsvektor von einer Geraden, die orthogonal zur Ebene ist, auch ein Normalenvektor (der Ebenen) ist.

Danke allen, hab' da nun so ein zwei Sachen durch gelernt!

rundblick aktiv_icon

21:24 Uhr, 18.02.2016

.
"Alles klar? "

Meine Güte
- Stephan4 , klar ist : deine aufgeblasene Fleissarbeit kannst du dir in Zukunft sparen

denn weiter oben kannst du lesen
was Sache ist,

da steht alles schon längst in kurzer Form

. .

. zB zuletzt

\to 21 : 08

Uhr,

18.02.2016,

vom Gast

\Rightarrow 1 \cdot x + 3 \cdot y - 1 \cdot z + d = 0

und

d = - 6

bekommst du mit

R (2, 2, 2) \in E

kurz und fertig.

.

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