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Quadratische Funktion - Bakterienkulturen

Schüler Berufskolleg, 5. Klassenstufe

Tags: Kurvendiskussion, Sachaufgabe

RosaBonbon aktiv_icon

13:51 Uhr, 16.06.2010

Hey, ich war leider krank als mein Lehrer diese Aufgaben im Unterricht gemacht hat und versteh davon leider nix. Kann mir jemand helfen?
Bei der Aufgabe geht es um Bakterienkulturen die in eine Nährlösung gegeben werden. Sobald die Nährlösung aufgebraucht ist vermehren sie sich nicht mehr und sterben ab.

Die Funktion: f(x)=-1/3x²+2x+9

a)wertetabelle- das kann ich noch

b)

Zu welchem Zeitpunkt werden die bakterien abgestorben sein?

c)

Wie viele Bakterien können höchstens mit dieser Lösung gezüchtet werden (finde 2 verschiedene Lösungswege)?

d)

Graph zeichnen
e)Definitionsbereich ergänzen

Meine Ideen:
Also ich glaub bei zwei is das was mit Extremstellen aber ich weiß nich mehr wie das geht und wie man den graph zeichnet weiß ich leider auch nich mehr. Brauche dringend Hilfe!!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kurvendiskussion (Mathematischer Grundbegriff)
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Wurzel-Furzel aktiv_icon

14:08 Uhr, 16.06.2010

b)

Nullstellen finden. Und da diese Art von Bakterien nicht unsterblich ist, kacken sie alle ab, wenn die Funktion die Abszisse(x-Achse) schneidet.
Also:

f (x) = 0

0 = - \frac{1}{3} x^{2} + 2 x + 9

PQ-Formel:

x 1

und

x 2

ausrechnen. Überlegen, ob es negative Zeit gibt. Gibt es nicht, deshalb kann für die Zeit nur positiver Wert in Frage kommen.
Anstatt PQ-Formel, beforzuge ich persönlich die Mitternachtsformel.
Mitternachtsformel:

0 = u \cdot x^{2} + v \cdot x + w

x 1

und

x 2 = - \frac{v}{2 \cdot u} \pm \frac{\sqrt{v^{2} - 4 \cdot u \cdot w}}{2 \cdot u} = - \frac{v}{2 \cdot u} \pm \sqrt{\frac{v^{2} - 4 \cdot u \cdot w}{4 \cdot u^{2}}}

x 1

und

x 2 = - \frac{v}{2 \cdot u} \pm \frac{\sqrt{v^{2} - 4 \cdot u \cdot w}}{2 \cdot u} = - \frac{2}{2 \cdot (- \frac{1}{3})} \pm \sqrt{\frac{2^{2} - 4 \cdot (- \frac{1}{3}) \cdot 9}{4 \cdot {(- \frac{1}{3})}^{2}}}

x 1 = - 3

x 2 = 9

f (x 1 = - 3) = 0

f (x 2 = 9) = 0

c)

Die Vermehrung von Bakterien zeigt uns deine Funktion

f (x)

.
Jetzt kommt die Frage. Zu welcher Jahreszeit haben die Bakterien ihre Frühlingsgefühle?
Um den Sexualverhalten der Tierchen zu verstehen, muß du die Funktion ableiten, gleich Null setzen und nach

x

(Zeitpunkt der Liebe) umstellen.

f' (x) = 0

f' (x) = - \frac{2}{3} \cdot x + 2

0 = - \frac{2}{3} \cdot x + 2

x = \frac{- 2 \cdot 3}{- 2}

x = 3

Das ist der Zeitpunkt, wo sie am wenigsten verhüten.

f (x = 3) = - \frac{1}{3} \cdot 3^{2} + 2 \cdot 3 + 9 = 12 - -

(Bakterienbabys)

d)

Du hast die Nullstellen und dem Maximalwert der Funktion.

- \frac{1}{3}

sagt aus, dass die Parabel nach unten geöffnet ist.
Jetzt nimm den Bleistift, markiere die Punkte, die du ausgerechnet hast und zeichne die Parabel.
Sieht aus wie ein Regenbogen.

e)

Definitionsbereich:
Da die zeit nicht negativ sein kann, fängt deine Funktion bei

x = 0

an.
Den Zeitpunkt des Armageddons hast du oben ausgerechnet

x = 9

.

Also ist dein Definitionsbereich:
Df

[

0,9]

RosaBonbon aktiv_icon

14:52 Uhr, 16.06.2010

also ich habe mit der pq-Formel für die Nullstelle auch 3 raus. Kann dann doch eigentlich nich oder?

RosaBonbon aktiv_icon

14:53 Uhr, 16.06.2010

ok hab mich verrechnet jetzt passts

RosaBonbon aktiv_icon

14:56 Uhr, 16.06.2010

Kennst du für

c

zufällig auch noch einen anderen Lösungsweg?
Vielen, vielen Dank für deine Hilfe, hast mich echt gerettet!!!!!!! ;-)

commander-makatau aktiv_icon

15:06 Uhr, 16.06.2010

Habt ihr einen GTR zur Verfügung? Dann einfach die Funktion zeichnen lassen und damit ermitteln. Wenn nicht, einfach aus deiner (hoffentlich genauen) Zeichnung rauslesen.

Diese Variante ist aber natürlich ungenau. Wenn wir also "exakt" sein wollen, müssen wir schon ableiten und nullsetzen. Na ja, in der Schule geht das schon mal (und das wollen die Lehrer dann auch sehen...)

RosaBonbon aktiv_icon

15:11 Uhr, 16.06.2010

Zu der Funktion kommt noch ne Aufgabe mit der Funktion

g (x) = - \frac{1}{3} + 4 x

hinzu und man soll Unterschiede zwischen den beiden Funktionen beschreiben und an charakteristischen Punkten des Graphens vergleichen. Und dann noch sagen wann die beiden Nährlösungen gleich viele Bakterien haben. Könnt ih mir da auch noch eben helfen??

Wurzel-Furzel aktiv_icon

15:46 Uhr, 16.06.2010

"also ich habe mit der pq-Formel für die Nullstelle auch 3 raus. Kann dann doch eigentlich nich oder?"

also,jemand passt hier nicht auf!

Die Nullstellen sind bei

b)

x 1 = - 3

und

x 2 = 9

bei

c)

ist der lokale Maximum

x = 3

.

An was denkst du die ganze Zeit?
Manchmal kommt mir so vor, das die Menschen sich von den Bakterien nicht wesentlich unterscheiden :-)

Wurzel-Furzel aktiv_icon

16:19 Uhr, 16.06.2010

An der Funktion

g (x) = - \frac{1}{3} + 4 x

kannst du sehen, dass es eine Gerade mit positiver Steigung ist.
Nimm den gleichen Beispiel mit Bakterienvermehrung, nur dass sie sich jetzt nach einer Geradenfunktion vermehren.

Geradengleichung:

g (x) = y = a \cdot x + b,

wobei a die Steigung mit dem Wert

+ 4

ist und

b = - \frac{1}{3}

b

ist der y-Wert, wo die Gerade die y-Achse schneidet.

g (x) = 4 x - \frac{1}{3}

Zeichne sie auf, dann wirst du es selbst sehen.

Jetzt überlege. Wann ist alles angefangen?
Zu welchem Zeitpunkt ist das erste Bakterienbaby auf die Welt gekommen?
Die Antwort auf diese Frage gibt dir die Nullstelle der Funktion.

f (x) = y = 0

0 = 4 \cdot x - \frac{1}{3}

x = \frac{1}{12} - -

Ist der Zeitpunkt, wo es noch kein Leben auf Erde gab. Oder unter deinem Zahn, wenn das die Kariesbakterien sein sollen.

Wenn

x

immer grösser wird, dann kannst du auch den Bakterienzuwachs beobachten (und so geht es unendlich weiter). Die funktion divergiert gegen Unendlich.(hat keinen Grenzwert)
Die Chinesen haben das gleiche Problem.

Die beiden Nährlösungen sind dann gleich, wenn ihre Funktionswerte gleich sind.

f (x) = g (x),

also dann, wenn sich die beiden Funktionen schneiden.
Wenn eine Funktion gleich der anderen ist.

- \frac{1}{3} x^{2} + 2 x + 9 = 4 \cdot x - \frac{1}{3}

\frac{1}{3} x^{2} - 2 x - 9 + 4 \cdot x - \frac{1}{3} = 0

\frac{1}{3} \cdot x^{2} + 2 \cdot x - \frac{28}{3} = 0

Wir haben wider eine quadratische Gleichung. Also, PQ-Formel und den Zeitpunkt ausrechnen, zu dem zwei dieser Parasitenländer die gleiche Befölkerungsdichte hatten.
Und vergieß nicht, die Zeit kann nicht negativ werden.
Weißt du was ich damit meine?

Den Graph habe ich auch hingekriegt. :-)

Wurzel-Furzel aktiv_icon

16:48 Uhr, 16.06.2010

"Kennst du für

c

zufällig auch noch einen anderen Lösungsweg? "

Also der andere Lösungsweg, der mir gerade einfällt ist folgender:
Du zeichnest deine Funktion und liest derer Maximalwert ab und natürlich den Zeitpunkt.

Sonst weiß ich im Moment auch nicht weiter.

RosaBonbon aktiv_icon

17:03 Uhr, 16.06.2010

vielen dank

Knowx aktiv_icon

17:20 Uhr, 16.06.2010

Ich kenn ihn, es ist die funktion in die scheitelpunktform bringen, da kann man auch das maximum bzw minimum ablesen

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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