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Reelle und komplexe Nullstellen bestimmen

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Tags: Funktion, Komplexe Nullstellen, Komplexe Zahlen, Nullstellen

 
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Steeeve2

Steeeve2 aktiv_icon

10:37 Uhr, 10.06.2012

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Hallo zusammen,

ich sitze gerade an folgender Aufgabe:

Berechne alle reellen und komplexen Nullstellen der Funktion f(x)=x6-x5-6x4+x2-x-6

Nun habe ich über das Horner-Schema die rellen Nullstellen x1=-2 und x2=3 ermittelt.

Übrig bleibt die Funktion f(x)=x4+1

Wie ermittle ich in einem solchen Fall die komplexen Nullstellen?

mein Ansatz wäre:

0=x4+1
-1=x4
i2=x4

Nun einfach die 4.Wurzel ziehen? Ist das dann eine komplexe Nullstelle? Ich steh hier grad auf dem Schlauch.

Danke vorab.

Gruß
Heiko


Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Nullstellen (Mathematischer Grundbegriff)
Vielfachheit einer Nullstelle (Mathematischer Grundbegriff)

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Mathe-Steve

Mathe-Steve aktiv_icon

10:50 Uhr, 10.06.2012

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Hallo,

zunächst würd ich die dritte Binomische anwenden.
x4+1=(x2-i)(x2+i)
Dann brauchst Du also die Quadratwurzeln von i und -i
i12=(eπ2i)12=eπ4i=122(1+i)
Das geht auch mit - davor.
Bei (-i)12 kommst Du auf 122(1-i) oder mit - davor.

Gruß
Stephan
Steeeve2

Steeeve2 aktiv_icon

10:58 Uhr, 10.06.2012

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bis dahin ok:

"zunächst würd ich die dritte Binomische anwenden.
x4+1=(x2 − i)(x2+i)
Dann brauchst Du also die Quadratwurzeln von i und −i"

den Rest verstehe ich leider nicht.

kann ich nicht x3=-i und x4=i schreiben?

Gruß
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Mathe-Steve

Mathe-Steve aktiv_icon

11:29 Uhr, 10.06.2012

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Na wenn schon, dann x3=i,x4=-i,x5=-i,x6=--i.
Aber was ist i?
Eine komplexe Zahl hat doch die Form a+bi.
Ich habe das über die Eulerform gelöst.
Man kann auch den Ansatz
i=a+b
überführen in
i=(a+bi)2
i=a2-b2+2abi
Hieaus folgt 2ab=1 und a2-b2=0
Setze die erste Gleichung in die zweite ein und finde je zwei Lösungen für a und b
a2-(12a)2=0
a2=14a2
a4=14
a2=-12 oder a2=12
Die erste Gleichung hat keine reelle Lösung, die zweite hat zwei
a=12 und -12
Dann ist b=12a=12 oder -12
Daraus setzen sich x3 und x4 zusammen.
Das gleiche dann noch mit -i=(a+bi)2
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