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Schnittpunktberechnung von Seitenhalbierenden

Universität / Fachhochschule

Tags: Dreieck, Elementargeometrie, Geometrie, Schnittpunkt, Seitenhalbierende

Sandrienchen aktiv_icon

16:23 Uhr, 03.02.2013

Hallo.

Es geht um die folgende Aufgabe, die mir Kopfzerbrechen bereitet.
Sei ein Dreieck ABC gegeben mit A=(0,0), B auf der x- Achse (also B=(b,0), wobei b>0 sei) und für die Ecke C=(c1,c2) soll gelten c2>0 und 0<c1<b.
Zeigen Sie, dass sich die drei Seitenhalbierenden des Dreiecks in einem Punkt schneiden.

Ich habe zunächst die MIttelpunkte bestimmt:
Mab=(b/2,0)
Mac= (c1 /2,c2 /2)
Mbc=(c1 +b /2, c2 +b /2)

Die Steigungen habe ich daraufhin wie folgt definiert:
AB = 0
BC= -c2 /b- c1
AC= c2 / c1

Jetzt stehe ich irgendwie auf dem Schlauch und komme nicht weiter.
Kann mir jemand helfen? VIelen Dank schonmal :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Schnittpunkte bestimmen

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Flächeninhalt und Umfang eines Dreiecks
Flächeninhalte
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Normalenform)
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Parameterform)
Lineare Gleichungssysteme

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Capricorn-01 aktiv_icon

17:14 Uhr, 03.02.2013

Nachdem Du die Mittelpunkte auf den Seiten bestimmt hast, bestimmst Du die Gleichungen der Geraden, die diese Mittelpunkte mit der gegenüberliegenden Ecke verbindet. Das sind die Seitenhalbierenden. Du erhältst diese Geradengleichungen, indem Du die Steigungen bestimmst. Dann gilt:

y =

+ c

c

ist der y-Achsenabschnitt. Diesen erhältst Du, indem Du einen bekannten Punkt einsetzt

c = y_{1} - m \cdot x_{1}

.
Dann bestimmst Du den Schnittpunkt zweier dieser Seitenhalbierenden und anschliessend den Schnittpunkt der 3. Seitenhalbierenden mit einer der beiden anderen. Wenn Du den gleichen Schnittpunkt erhältst. hast Du die Behauptung bewiesen.

Sandrienchen aktiv_icon

17:17 Uhr, 03.02.2013

Vielen Dank schonmal.
Allerdings ist mir die Lösung noch nicht so ganz klar...
Benötige ich die Steigung, die ich bestimmt habe, für die weitere Rechnung also eigentlich gar nicht?
Steigung generell bestimmen ist mir klar, y2-y1/x2-x1.
Sorry, komme mir gerade echt ein bisschen dumm vor, aber was setze ich denn für die Steigung der Seitenhalbierenden dann ein?

Capricorn-01 aktiv_icon

17:30 Uhr, 03.02.2013

Du kennst von allen Seitenhalbierenden 2 Punkte. Die Koordinaten dieser Punkte setzt Du in Deine Formel ein:

m = \frac{y 2 - y 1}{x 2 - x 1}

Sandrienchen aktiv_icon

10:58 Uhr, 04.02.2013

So, also komme ich auf die folgenden Steigungen:

mAB= c2/ b/2 = c2 * 2/b

mBC= c2/2 / c1+b/2 = c2/2 * 2/c1+b

mAC= b-c1/2 / -c2/2 = b-c1/2 * (-2/c2)

Bis dahin korrekt?

Wenn ich nun m in y = mx+b einsetze, ergeben sich die Gleichungen der Seitenhalbierenden:

Sab= (c2 * 2/b)x

Sbc= (c2/2 * 2/c1+b)x

Sac= (b- c1/2 *(-2/c2))x + n

Der y- Achsenabschnitt n ist ja bei Sab und Sbc 0, wenn ich die Skizze richtig angefertigt habe?

So wirklich einsetzen kann ich jetzt ja gar keine Punkte, das gibt doch das totale Chaos bei den ganzen Variabeln... Setze ich die Gleichungen der Seitenhalbierenden demnach jetzt einander gleich und hoffe, den gleichen Schnittpunkt herauszukriegen?

Vielen Dank schonmal, du hast mir bisher schon sehr geholfen.
LG

Capricorn-01 aktiv_icon

13:27 Uhr, 04.02.2013

Die Seitenhalbierende zwischen a und

b :

Mittelpunkt auf

c :

M_ab=(b/2,0)
Punkt

C = (c_{1}, c_{2})

m_{c} = \frac{c_{2}}{c_{1} - \frac{b}{2}}

Ich setze

C

ein:

c_{2} = c_{1} \cdot \frac{c_{2}}{c_{1} - \frac{b}{2}} + q

q = c_{2} - c_{1} \cdot \frac{c_{2}}{c_{1} - \frac{b}{2}}

Es ergibt sich die Gleichung

y = x \cdot \frac{c_{2}}{c_{1} - \frac{b}{2}} + c_{2} - c_{1} \cdot \frac{c_{2}}{c_{1} - \frac{b}{2}}

y = c_{2} + (x - c_{1}) \cdot \frac{2 \cdot c_{2}}{2 \cdot c_{1} - b}

Der Punkt A liegt im Nullpunkt

\Rightarrow

Die Seitenhalbierende von a hat einen y-Achsenabschnitt von

0,

die andern beiden nicht.

Sandrienchen aktiv_icon

14:05 Uhr, 04.02.2013

Dann komm ich nach Einsetzen von Punkt B in Sac auf

y= -c1/2 / b-c2/2 x - (-c1/2)*b/ b- c2/2

und für Sbc auf

y= c1+b/2 / c2/2 x

Soweit richtig?

Dann muss ich nun noch versuchen, die 3 gleichzusetzen, um den Schnittpunkt herauszufinden...

Capricorn-01 aktiv_icon

18:11 Uhr, 04.02.2013

Es scheint, Du hast bei der Berechnung von

m

Zähler und Nenner vertauscht.
Ich komme bei der Seitenhalbierenden von

b

auf:

y = x \cdot \frac{c_{2}}{c_{1} - 2 \cdot b} - b \cdot \frac{c_{2}}{c_{1} - 2 \cdot b} = (x - b) \cdot \frac{c_{2}}{c_{1} - 2 \cdot b}

und von

a :

y = x \cdot \frac{c_{2}}{c_{1} - b}

(mit 2 erweitert)

Nachtrag: es hat noch ein

x

gefehlt.

Sandrienchen aktiv_icon

20:35 Uhr, 04.02.2013

Mir ist nicht klar, wo ich den Fehler gemacht habe.
Die Steigung berechne ich doch mit y2-y1 / x2-x1?

Wie kommst du beispielsweise bei Sa auf das Ergebnis, ich setze doch in die Seitenhalbierende Punkt A ein??

Ohje, und ich dachte ich wäre der Lösung etwas näher gekommen :(

Capricorn-01 aktiv_icon

20:44 Uhr, 04.02.2013

Richtig, ausser dass die Klammern fehlern.
Aber dann:

y_{1}

ist doch zum Beispiel

\frac{c_{2}}{2}

und nicht

\frac{c_{1}}{2}

Bei

S_{a}

wissen wir, dass der y-Achsenabschnitt 0 ist. Also ist die Gleichung einfach

y = m \cdot x

Du musst also hier nur die Steigung richtig bestimmen.

Sandrienchen aktiv_icon

20:50 Uhr, 04.02.2013

Habe ich beim nochmaligen Nachrechnen gerade auch rausbekommen, sodass nach Erweitern mit 2 für Sa aus C2/2 / C1/2 = C2/C1 wird und somit wäre dann

Sa: y= c2/c1 x + n bzw. nach EInsetzen y= c2/c1 x?

Oder liegt der FEhler in falschen Mittelpunkten??

Capricorn-01 aktiv_icon

21:00 Uhr, 04.02.2013

Da fehlt aber noch das

b

. Dieses kommt beim Mittelpunkt zwischen

B

und

C

vor.

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