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Tangenten und deren Nullstellen

Universität / Fachhochschule

Tags: Nullstellen, Tangent

Kansaki aktiv_icon

12:20 Uhr, 21.01.2014

Berechnen Sie zu

$f (x) = x^{2} - 7$

die Tangente an der Stelle $x_{0} = 3$ und anschließend $x_{1},$ die Nullstelle dieser ersten Tangente.
Berechnen Sie dann die Tangente an der Stelle $x_{1}$ und anschließend $x_{2},$ die Nullstelle der zweiten Tangente.
Geben Sie den Wert für $x_{2}$ ein (als gekürzten Bruch)!

Sieht auf den ersten Blick einfach aus.
Nur, man macht sich vor dem Losrechnen so seine Gedanken.
Die tangente berührt die Funktion in ihrer Nullstelle $(x_{0} = 3)$ . Das heißt ja dann aber auch, dass $x_{0}$ die Nullstelle der Tangente ist. Somit ist $x_{0} = x_{1}$
Aber die Tangente in $x_{1}$ wäre ja dann die selbe wie bei $x_{0},$ da es sich noch imme rum den gleichen Punkt handelt.
Daraus folgt:
$x_{2} = x_{1} = x_{0} = 3$
Aber das Ergebnis ist falsch. Mal davon abgesehen, dass es auch kein Bruch ist.

Mit der Formel $f (x) =$ mx $+ b$ kann ich in dem Zusammenhang bisher nicht viel anfangen. Erst dachte man ja noch, Tangente, das ist eine Lineare Funktion. Aber helfen tut das nicht wirklich.

Habe ich einfach nur einen schlichten Denkfehler?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Nullstellen (Mathematischer Grundbegriff)
Vielfachheit einer Nullstelle (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Allgemeine Exponentialfunktion - Fortgeschritten
Allgemeine Sinusfunktion
Nullstellen
Nullstellen bestimmen
Polynomdivision

Allgemeine Exponentialfunktion - Fortgeschritten
Allgemeine Sinusfunktion
Nullstellen
Nullstellen bestimmen

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Bummerang

12:50 Uhr, 21.01.2014

Hallo,

"Die tangente berührt die Funktion in ihrer Nullstelle (x0=3)."

$x_{0} = 3$ ist keine Nullstelle der Funktion!

Edddi aktiv_icon

12:55 Uhr, 21.01.2014

Tangente an $x_{0} = 3$ berechnet sich so:

Anstieg $m$ der Tangente $= f' (x_{0}) = f' (3) = 2 \cdot 3 = 6$

Die Tangente hat also den Anstieg 6 und geht durch $(\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix})$

Einsetzen von $(\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix})$ in

$y_{T} = 6 \cdot x + n$ ergibt: $2 = 6 \cdot 3 + n \Rightarrow n = - 16$

Somit $y_{T} = 6 \cdot x - 16$

Nullstelle $x_{1}$ dieser Tangente ist $0 = 6 \cdot x_{1} - 16 \Rightarrow x_{1} = \frac{16}{6}$

Nun nochmal die Tangente an Stelle $x_{1} = \frac{16}{6}$

Dessen Anstieg (da $f' (x) = 2 \cdot x)$ ist $2 \cdot \frac{16}{6} = \frac{16}{3}$

Somit die Tangentenfunktion:

$y_{T} = \frac{16}{3} \cdot x + n$

Nun einsetzen von $(\begin{matrix} \frac{16}{6} \\ f (\frac{16}{6}) \end{matrix}) = (\begin{matrix} \frac{16}{6} \\ \frac{1}{9} \end{matrix})$

$\frac{1}{9} = \frac{16}{3} \cdot x_{1} + n = \frac{16}{3} \cdot \frac{16}{6} + n \Rightarrow n = - \frac{254}{18} = - \frac{127}{9}$

Und somit

$y_{T} = \frac{16}{3} \cdot x - \frac{127}{9}$

Und somit beim Nullsetzen:

$x_{2} = \frac{127}{48}$

$. .$ . du solltest dich auf dieser Art an Nullstelle $\sqrt{7}$ annähern.

;-)

Kansaki aktiv_icon

12:59 Uhr, 21.01.2014

Danke für die schnelle Antwort. Zumal ich das sogar verstanden habe, beim zweiten mal lesen. Ging ja wirklich fix. Ist wohl Übungssache?

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