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Textaufgabe: Kurvendiskussion

Schüler Gymnasium,

Tags: Kurvendiskussion, Textaufgabe

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02:55 Uhr, 30.05.2013

Hallo,

bei folgender Aufgabe komme ich nicht weiter:

Nach der Einnahme eines Medikamentes wird seine Konzentration im Blut von der Einnahme bis zum vollständigen Abbau näherungsweise durch die Funktion

f (x) = - \frac{1}{10} \cdot x^{3} + \frac{7}{10} \cdot x^{2} + 3 \cdot x

beschrieben.

Dabei wird die Zeit

x

in Stunden und die Konzentration des Wirkstoffes

f (x)

in mg/1 angegeben.

Das Medikament wirkt erst dann, wenn seine Konzentration im Blut über 8 mg/1 (Schwellwert) liegt.

a)

Berechne die Zeit nach der Einnahme, in der das Medikament im Körper vollständig abgebaut ist.

b)

Berechne, wann die Konzentration des Medikaments im Blut am größten ist. Gib auch die maximale Konzentration an.

c)

Berechne die Wendestelle von

f

und beschreibe, was sie bezüglich des Verlaufes der Konzentration bedeutet.

d)

Neben der Konzentration des Medikamentes im Blut

[

beschrieben durch

f (x)]

kommt es auch auf die zeitliche Dauer an, in der sie oberhalb des Schwellwertes von 8mg/1 liegt.

Die Schwellwertgerade lautet

g (x) = 8

Berechne den zeitlichen Bereich, in dem die Konzentration des Medikamentes mindestens bei 8mg/1 liegt.

(Hinweis: 2 Stunden nach Einnahme des Medikamentes erreicht die Konzentration des Medikamentes erstmals den Schwellenwert)

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Aufgabe

a)

Nullstellen berechnen würde ich sagen:

0 = f (x) - \frac{1}{10} \cdot x^{3} + \frac{7}{10} \cdot x^{2} + 3 \cdot x

x-Ausklammern;

x 1 = 0

0 = x \cdot (- \frac{1}{10} \cdot x^{2} + \frac{7}{10} \cdot x^{2} + 3)

0 = - \frac{1}{10} \cdot x^{2} + \frac{7}{10} \cdot x + 3

PQ-Formel anwenden: Spätestens jetzt bekomme ich eine negativ Zahl in der Wurzel und kann nicht mehr weiter rechnen.

Ich bekomme dann folgendes Ergebnis:

0,1 \pm

Wurzel aus

- 2,999

Laut Lösungsblatt muss für Aufgabe

a)

folgendes rauskommen:

NULLSTELLEN;

x = 0; x = - 3

(entfällt);

x = 10

Wo liegt hier mein Fehler bei der Aufgabe

a)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kurvendiskussion (Mathematischer Grundbegriff)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Atlantik aktiv_icon

04:33 Uhr, 30.05.2013

f (x) = - \frac{1}{10} x^{3} + \frac{7}{10} x^{2} + 3 x

- \frac{1}{10} x^{3} + \frac{7}{10} x^{2} + 3 x = 0 | \cdot (- 10)

x^{3} - 7 x^{2} - 30 x = 0

x (x^{2} - 7 x - 30) = 0

x_{1} = 0

x^{2} - 7 x = 30

{(x - \frac{7}{2})}^{2} = 30 + \frac{49}{4} = \frac{169}{4} | \sqrt{}

x_{2} = \frac{7}{2} + \frac{13}{2} = 10

x_{3} = \frac{7}{2} - \frac{13}{2} = - 3

mfG

Atlantik

Zu diesem Beitrag wurde eine digitale Zeichnung hinzugefügt:

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00:56 Uhr, 31.05.2013

Danke, Atlantik, jetzt habe ich auch meinen Fehler erkannt.

Ich habe eine Frage zur letzten Aufgabe

f),

die ich nicht ganz verstehe.

Soll das heissen, dass ich einen Punkt mit

(2; 0)

und einen anderen Punkt bei

(0; 8)

habe? Und jetzt einfach mit der Steigungsformel

y 2 - y 1

und

x 2 - x 1

meine Steigung ermitteln kann?

Danke für die Hilfe

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02:08 Uhr, 31.05.2013

Wie kann man denn so verplant sein?
Aufgabenteil

f)

???

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02:31 Uhr, 31.05.2013

Meinte die letzte Aufgabe

d)

vom ersten Beitrag.

Matlog aktiv_icon

02:52 Uhr, 31.05.2013

Erst

f),

dann

c),

jetzt also

d)

.

"Soll das heissen, dass ich einen Punkt mit

(2; 0)

und einen anderen Punkt bei

(0; 8)

habe? Und jetzt einfach mit der Steigungsformel

y 2 - y 1

und

x 2 - x 1

meine Steigung ermitteln kann? "

Punkte

(2 | 0)

und

(0 | 8)

? Wie kommst Du darauf? Die liegen jedenfalls nicht auf dem Graphen von

f

.

Wenn Du den Zeitraum bestimmen willst, in dem die Konzentration mindestens 8 mg/l beträgt, dann musst Du den Beginn und das Ende dieses Zeitraums bestimmen. Wie hoch ist die Konzentration zu diesen beiden Zeitpunkten? 8 mg/l!
Also musst Du die Zeitpunkte

x

finden, wo

f (x) = 8

herauskommt. Dies entspricht den Schnittpunkten von

f

mit der angegebenen Schwellwertgeraden

g

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11:52 Uhr, 31.05.2013

f (x) = - \frac{1}{10} x^{3} + \frac{7}{10} x^{2} + 3 x

- \frac{1}{10} x^{3} + \frac{7}{10} x^{2} + 3 x = 8 | \cdot (- 10)

(x^{3} - 7 x^{2} - 30 x + 80) : (x - 2) = ⋆ ⋆

Dann die Nullstellen des Ergebnisses suchen.

mfG

Atlantik

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01:06 Uhr, 01.06.2013

Hallo Atlantik, also den Vorletzten Schritt verstehe ich nicht.

(x^{3} - 7 \cdot x^{2} - 30 \cdot x - 80) : (x - 2) =

???

Soll ich jetzt nach der Polynomdivision (kann ich nicht) mit der Nullstelle

(x - 2)

die Nullstellen ausrechnen? Ich habe das gerade mit dem Hornerschema versucht und

- 2

als Nullstelle genommen aber das geht nicht auf.

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Eine zweite Frage hätte ich zu dieser Aufgabe zur Nullstellenbestimmung, weil ich irgendwie Schwierigkeiten habe, diese zu lösen. Weil ich nicht weis, was ich machen soll. X-Ausklammern? Direkt auf Hornerschema umsteigen? Aber dann bekomme ich keine Nullstelle geraten in meinem Taschenrechner, wenn ich auf die Table-Taste drücke, weil in der Tabelle nur krumme Werte gezeigt werden.

Folgende Aufgabe ist das:

f (x) = 0,5 \cdot x^{4} - 1,3 \cdot x^{3} - 3 \cdot x^{2} + 4 \cdot x = 0

Angenommen ich klammere

x

aus.

x \cdot (0,5 \cdot x^{2} + 0,5 \cdot x - 1) = 0

x^{1} = 0

Wenn ich jetzt auf Hornerschema umsteigen möchte, dann kriege ich keine erratene Nullstelle in meinem Taschenrechner (WERTETABELLE) angezeigt. Wie vorgehen?

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07:28 Uhr, 01.06.2013

Berechnung zeitlicher Bereich:

. . (x^{3} - 7 x^{2} - 30 x + 80) : (x - 2) = x^{2} - 5 x - 40

- (x^{3} - 2 x^{2})

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .

... ... ... . . - 5 x^{2} - 30 x

... . . - (- 5 x^{2} + 10 x)

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

... ... ... ... ... ... ... - 40 x + 80

... ... ... ... ... . . - (- 40 x + 80)

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . .

... ... ... ... ... ... ... ... ... . . 0

Nun Nullstellen:

x^{2} - 5 x - 40 = 0

x^{2} - 5 x = 40

{(x - \frac{5}{2})}^{2} = 40 + {(\frac{5}{2})}^{2} = \frac{185}{4} | \sqrt{}

x - \frac{5}{2} = \pm \sqrt{\frac{185}{4}} = \pm 6,800735254

x_{1} = 9,300735254

x_{2} = - 4,300735254

Diesen Wert brauchst du nicht.

mfG

Atlantik

Zeichnung zeitlicher Bereich:

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07:36 Uhr, 01.06.2013

f (x) = 0,5 x^{4} - 1,3 x^{3} - 3 x^{2} + 4 x

\frac{1}{2} x^{4} - 1,3 x^{3} - 3 x^{2} + 4 x = 0 | \cdot 2

x^{4} - 2,6 x^{3} - 6 x^{2} + 8 x = 0

x (x^{3} - 2,6 x^{2} - 6 x + 8) = 0

x_{1} = 0

x^{3} - 2,6 x^{2} - 6 x + 8 = 0

Bei insgesamt geraden Zahlen ist es die Nullstellen bei den Teilern von 8 zu suchen.

Hier ist das Horner angebracht.

mfG

Atlantik

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22:55 Uhr, 01.06.2013

Hallo,

ich habe wirklich Schwierigkeiten eine rationale Nullstelle zu erraten bei solchen Aufgaben. Denn für den Teiler von 8 kämen doch nur folgende Nullstellen in Frage:

\pm 8

\pm 1

\pm 2

\pm 4

Ich habe alle eingesetzt in meinen Taschenrechner (auch die negativen Werte in Klammern gesetzt), aber bekomme einfach keine Nullstelle. Ich will in der Klausur nicht elendig Zeit vergeuden, wegen dieser Raterei. Das raubt mir die Hoffnung auf die Klausur.

Anbei, ist das eigentlich der einzige Weg, solche Aufgaben zu lösen? Ich meine erst den ganzen Term durch das Vorzeichen mit dem höchsten Exponenten dividieren dann x-Ausklammern?

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12:23 Uhr, 02.06.2013

f (x) = 0,5 x^{4} - 1,3 x^{3} - 3 x^{2} + 4 x

Wie kommst du an diese wirklich unhandliche Funktion?

Wenn ich diese mit der "Wirkstoffkonzentrationsaufgabe" vergleiche, so ist diese eindeutig schwerer zu lösen.

Da war ja auch schon der Anfangswert

x = 2

angegeben, wo die Konzentration

= 8

ist .

Der Bereich war denn auch mit der von mir eingestellten Polynomdivision leicht zu berechnen.

mfG

Atlantik

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02:36 Uhr, 03.06.2013

Die Aufgabe hat meine Lehrerin aufgeschrieben, damit wir sie rechnen sollen.

Eine Frage noch zu diesen beiden Aufgaben:

Bezieht sich auf diese Funktion:

f (x) = \frac{3}{2} \cdot x^{3} + \frac{9}{2} \cdot x^{2} - 6

Hier:

1)Stelle die Gleichung der Geraden

G

durch die beiden Extrempunkte auf.

2)Bestimme die Steigung der Tangente im Punkt

C (- 1 - 3)

und zeichne die Tangente

t

in das angelegten Koordinatensystem.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Also muss ich bei Aufgabe

1)

einfach beide Extrempunkte mit einer Geraden verbinden? Oder?

Und bei Aufgabe zwei, die Tangentengleichung aufstellen und dann mit der errechneten Funktion den Graphen einfach zeichnen? Ich bin nur verwirrt, weil eine Tangente berührt doch nur an einer stelle? Bei der letzten Aufgabe bin ich etwas verwirrt.

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07:03 Uhr, 03.06.2013

Setze die 1. Ableitung gleich Null. Damit erhälst du zwei Zahlenwerte für

x

.
Setze diese in die Ausgangsfunktion ein , um die dazugehörigen y-Werte zu erhalten.
Mit diesen Koordinaten kannst du zwei Gleichungen der Form: y=mx+b bilden.
Durch Einsetzen der Koordinaten lassen sich

m

und

b

bestimmen.

2)Steigung der Tangente: Berechne dazu;

f' (- 1)

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12:58 Uhr, 03.06.2013

Nullstellen finden:

f (x) = \frac{3}{2} x^{3} + \frac{9}{2} x^{2} - 6

\frac{3}{2} x^{3} + \frac{9}{2} x^{2} - 6 = 0 | \cdot \frac{2}{3}

x^{3} + 3 x^{2} - 4 = 0

Teiler von 4 sind

1, 2

und 4. Damit nun die Polynomdivision ausführen:

(x^{3} + 3 x^{2} - 4) : (x - 1) = . .

.

mfG

Atlantik

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