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Trigonometrische Gleichungen??

Schüler Berufliches Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: Kosinusfunktion, Sinusfunktion, Substitution

vivay aktiv_icon

16:00 Uhr, 06.04.2016

Hallo, bin neu hier im Mathe Forum

; D

Da ich demnächst wieder eine Klassenarbeit in Mathe schreibe,habe ich mir nun auch vorgenommen rechtzeitig mit dem Lernen zu beginnen. Meine Lehrerin hat uns nun einige Aufgaben zum üben jeweils mit Lösungsvorschlag ausgeteilt, was mich jetzt ziemlich verwirren lässt.
Folgende Aufgaben sind trigonometrische Gleichungen, die man mithilfe des Substitutionsverfahren lösen soll:

a) sin (4 x) + 2 = 1 (x

ist ein Element von

[

0;3pi])
hier zuerst ein Teil meiner Variante:

sin (4 x) = - 1

4 x = u

/substitution

sin (u) = - 1

u = π \cdot z (z

ist ein Element von allen ganzen Zahlen)

so.. natürlich müsste ich nun alles weiterrechnen, jedoch hat meine Lehrerin an dem Punkt die Gleichung u=(-pi/2)+2pi*z (

z

ist ein Elemet von allen ganzen Zahlen) verwendet, wodurch dann auch schließlich völlig andere Werte rauskommen.
Nun hier meine wesentliche Frage.. Welche Gleichung muss ich denn nun für den Sinus bei der Substitution verwenden? bzw beim Kosinus, denn folgendes steht im Matheheft/-buch:

cos (x) = 0

x = (\frac{π}{2}) + π \cdot z (z

ist ein Element von allen Zahlen)

sin (x) = 0

x = z \cdot π

Meine Lehrerin hat eine andere Gleichung verwendet.. liegt das vielleicht an dem

- 1

nach dem "=" oder hat sie einen falschen Lösungsvorschlag gemacht?- weil die Gleichung ist ja Sinus, und sie aber verwendet Kosinus..Was das mit diesem Intervall

[

0;3pi] auf sich hat verstehe ich ebenfalls nicht..

wäre sehr dankbar, wenn mir jemand das erklären könnte *grins*
Hier sind noch 2 weitere Gleichungen, wo ich am verzweifeln bin..

\frac{;}{}

b)

4cos(x/3)-2=2

; x

ist ein Element von

[

-2pi;6pi]

c)

40cos(pi*x/10)-20=-20

; x

ist ein Element von

[0; 50]

Dankeschön im vorraus...

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Allgemeine Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Kosinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Sinus- und Kosinusfunktion

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Bummerang

16:18 Uhr, 06.04.2016

Hallo,

"sin(u)=-1

u = π \cdot z (z

ist ein Element von allen ganzen Zahlen)"

Schau Dir bitte noch einmal die Sinusfunktion an! An den Stellen, an denen

x

ein ganzzahliges Vielfaches von

π

ist, ist der Wert der Sinusfunktion Null und NICHT

- 1!

Deshalb ist Deine Lösung

u = π \cdot z

falsch! Der Wert

- 1

wird angenommen an der Stelle

- \frac{π}{2},

was wie ich finde ungeschickt ist, da am Ende eine Lösung im Intervall

[0; 3 \cdot π]

gesucht ist, aber auch an der Stelle

\frac{3}{2} \cdot π

. Zu dieser EINEN gefundenen Stelle ist dann noch das z-fache der Periode

2 \cdot π

dazuzuaddieren. Macht insgesamt:

u = - \frac{π}{2} + 2 \cdot π \cdot z

oder wie ich es besser finden würde

u = \frac{3}{2} \cdot π + 2 \cdot π \cdot z

"Welche Gleichung muss ich denn nun für den Sinus bei der Substitution verwenden?"

Du hast die Substitution noch nicht verstanden! Du substituierst nicht den Sinus oder wenn es in der Aufgabe

cos (4 \cdot x) = - 1

lauten würde den Kosinus, Du substituierst die

4 \cdot x!

Und die Substitutionsgleichung ist in beiden Fällen

u = 4 \cdot x

.

"Meine Lehrerin hat eine andere Gleichung verwendet.. liegt das vielleicht an dem

- 1

nach dem "=" oder hat sie einen falschen Lösungsvorschlag gemacht?- weil die Gleichung ist ja Sinus, und sie aber verwendet Kosinus."

Boah! Deine Lehrerin hat eine andere Gleichung GELÖST, verwendet hat sie dabei zunächst erst mal gar nichts! Und dass unterschiedliche Gleichungen zu unterschiedlichen Lösungen führen, sollte eigentlich ab der Grundschule bekannt sein! Deine Argumentation, sie hätte ja den Kosinus benutzt beruht darauf, dass Du, warum auch immer, nicht erkannt hast, dass das einfach unterschiedliche Gleichungen sind und deren Lösungen AUCH unterschiedlich sind. Denn bei

cos (x) = 0

schreibt sie

\frac{π}{2} + π \cdot z

und bei der Gleichung

sin (u) = - 1

schreibt sie

- \frac{π}{2} + 2 \cdot π \cdot z

Da sind zwei deutlich sichtbare Unterschiede!

"Was das mit diesem Intervall

[

[0;3pi] auf sich hat verstehe ich ebenfalls nicht.."

Der Sinus und der Kosinus sind beide periodische Funktionen und sie haben (nicht ganz zufällig) die selbe Periodenlänge von

2 \cdot π

. Deshalb wird die gegebene Gleichung möglicherweise mehrere Lösungen haben. Ohne die Begrenzung auf ein Intervall wären es sogar unendlich viele Lösungen! Du sollst am Ende einfach zu einer Lösung

x

(die Du noch gar nicht hast, denn zur Substitution gehört auch die Rücksubstitution, die bei Dir noch fehlt), alle die

z \in ℤ

finden, die für

x

einen Wert im Intervall

[0; 3 \cdot π]

ergeben!

Atlantik aktiv_icon

16:27 Uhr, 06.04.2016

b)

und

c) :

1 .)

Vereinfachen.

2 .) . .

.

mfG

Atlantik

vivay aktiv_icon

16:33 Uhr, 06.04.2016

Also erstmal danke Bummerang.. frage mich immer wie sich Menschen nur so über Mathe aufregen können(...)

Aber um das ganze zu verstehen.. bedeutet dass also dass die

- 1

von der "Formel"(pi/2)+2pi*z augehoben wird?Ich bin so verwirrt, da ich dieses Thema 0 check, wir hundert Formeln dazu aufgeschrieben haben und ich gerne wissen möchte was man denn bei

cos

oder sin bei

u

einsetzen soll

Bummerang

16:51 Uhr, 06.04.2016

Hallo,

"bedeutet dass also dass die

- 1

von der "Formel"

(\frac{π}{2}) + 2 \cdot π \cdot z

augehoben wird?"

Da verstehe ich die Frage nicht! Da wird nichts aufgehoben. Im übrigen solltest Du nicht von Formeln reden, denn unter Formeln versteht man eher so etwas wie Regeln, mit denen man dann andere Gleichungen umformen kann. Es sind Gleichungen, die Du gegeben hast und die zu lösen sind. Eine Formel hat keine Lösung. Eine Formel wäre zum Beispiel

{(sin (x))}^{2} + {(cos (x))}^{2} = 1

. Mit dieser (trigonometrischer Pythagoras genannten) Formel, kannst Du dann Gleichungen lösen, wie

sin (x) + {(cos (x))}^{2} = 1

.

"Ich bin so verwirrt, da ich dieses Thema 0 check, wir hundert Formeln dazu aufgeschrieben haben"

Unterscheide bitte zwischen Formeln und Gleichungen, die zu lösen sind. Formeln sollte man lernen und bestenfalls beherrschen. Gleichungen, die man gelöst hat, kann man getrost wieder vergessen. Sollte irgendwann mal die selbe Gleichung gelöst werden müssen, kann man die Lösung immer wieder neu erarbeiten!

"ich gerne wissen möchte was man denn bei coscos oder sin bei

\cup

einsetzen soll"

Was man bei der Substitution einsetzen muss, ist, wie ich bereits geschrieben habe, unabhängig davon, ob man nun einen Sinus oder einen Kosinus oder eine Exponentialfunktion hat! Will man

sin (4 \cdot x) = - 1

cos (4 \cdot x) = \frac{1}{2}

oder

e^{(4 \cdot x)} = 1

lösen mittels Substitution durch

u,

verwendet man in allen drei Fällen die Gleichung

u = 4 \cdot x

. Was man einsetzen soll ist also nicht durch die Art der Funktion bestimmt, sondern durch das Argument der Funktion und das ist in meinen drei Beispielen immer

4 \cdot x

gewesen!

vivay aktiv_icon

17:13 Uhr, 06.04.2016

okay ja ich habe meine Frage ziemlich unverständlich formuliert.. also ich meinte ab dem punkt wo man

sin (u) = - 1

hat.. für dieses

u

gibt es eine bestimmte formel die man eben dann dem

4 x

gleichsetzt und diese Formel oder keine Ahnung wie ich das jetzt nennen soll.. die haben wir aufgeschrieben. Hier jedoch hat meine Lehrerin eine andere verwendet und ich frage mich einfach warum.

Ich verstehe auch nicht wie ich die

- 1

verrechnen soll damit ich mit 0 gleichsetzen kann, die

- 1

stört..

"lösen mittels Substitution durch

u,

verwendet man in allen drei Fällen die Gleichung u=4⋅x. Was man einsetzen soll ist also nicht durch die Art der Funktion bestimmt, sondern durch das Argument der Funktion und das ist in meinen drei Beispielen immer 4⋅x gewesen! "

Ja das habe ich verstanden.. aber meine Frage ist das was dem

u

gleichgesetzt wird. Die Substitution an sich habe ich ja verstanden.. aber das danach.. wie ich weiterrechne.. wo hat in dem bsp meiner lehrerin sie die

- 1

verrechnet. Mit welcher z-formel hat sie gerechnet und ja es ist eine Formel sonst hätten wir ja kaum wohl die Anweisung bekommen, diese zu lernen.

Bummerang

17:41 Uhr, 06.04.2016

Hallo,

Deine Lehrerin hat zunächst die Gleichung

cos (u) = 0

gelöst und korrekterweise

u = \frac{p}{2} + π \cdot z

erhalten. Was Deine Lehrerin dann damit gemacht hat, kann ich aus dem bisherigen nicht entnehmen. Möglicherweise hat sie dann die Rücksubstituion durchgeführt, die ich Dir hier nicht machen kann, weil ich nicht weiss, was vorher an der Stelle des

u

gestanden hat, ich also nicht weiss, wie das

u

bei Deiner Lehrerin festgelegt war.

Du musst eine ANDERE Gleichung lösen:

sin (u) = - 1

und die Lösung dazu lautet, das kann man anhand des Graphen der Sinusfunktion sehen oder man weiss es, weil man die Werte der trigonometrischen Funktionen an ein paar ausgewählten Stellen auswendig wissen sollte. Die Lösung lautet dann

u = - \frac{π}{2} + 2 \cdot π \cdot z

Jetzt muss man rücksubstituieren, das heißt, das

u

wieder als einen Term mit

x

darstellen:

4 \cdot x = - \frac{π}{2} + 2 \cdot π \cdot z

Diese neue gleichung ist nun nach

x

zu lösen!

x = - \frac{π}{8} + \frac{π}{2} \cdot z

Das ist nun die allgemeine Lösung nach

x

. Jetzt musst Du damit die

z \in ℤ

bestimmen, so dass

x \in [0; 3 \cdot π]

ist und alle diese Lösungen angeben!

vivay aktiv_icon

17:55 Uhr, 06.04.2016

Heey.. Also ist bei

cos (x) = 0 x

immer

x =

(pie/2) +pie*z

wieso steht dann in der Funktion

x =

(pie/2) +2pie*z?

Und es ist doch eine Sinus funktion warum kommt man hier jetzt mit Kosinus??

Aber bist ja ein richtiges Genie in dem Thema, die Lösung ist korrekt. Danke Danke.. nur verstehe den Weg noch nicht ganz.. tut mir echt leid aber dieses Thema;//

Bummerang

18:02 Uhr, 06.04.2016

Hallo,

".. Also ist bei

cos (x) = 0 x

immer

x = (\frac{π}{2}) + π \cdot z

"

Genau so!

"wieso steht dann in der Funktion

x = (\frac{π}{2}) + 2 \cdot π \cdot z

?"

Wo steht in welcher Funktion

x = (\frac{π}{2}) + 2 \cdot π \cdot z

? Das Wort Funktion taucht hier, wenn man mal von meinem Bezug auf den Graphen der Funktion absieht, das erste Mal auf!

"Und es ist doch eine Sinus funktion warum kommt man hier jetzt mit Kosinus??"

Außer, das Du anhand der Ähnlichkeit der Lösung der Sinus-Gleichung mit dem Kosinus daher gekommen bist, habe ich sonst niemanden gesehen, der von Dir als "man" bezeichnet werden könnte und der mit dem Kosinus dahergekommen sein soll!

vivay aktiv_icon

18:05 Uhr, 06.04.2016

Außer, das Du anhand der Ähnlichkeit der Lösung der Sinus-Gleichung mit dem Kosinus daher gekommen bist, habe ich sonst niemanden gesehen, der von Dir als "man" bezeichnet werden könnte und der mit dem Kosinus dahergekommen sein soll!

Ja, das ist ja mein Problem. Wieso löst meine Lehrerin es mit dem Kosinus von

x =

blablub.. obwohl es sinus ist.
Ist ja jetzt auch egal ich frage einfach morgen nach
Trotzdem danke..

Bummerang

18:10 Uhr, 06.04.2016

Hallo,

also mal mit allen Details:

Welche Gleichung, die den Sinus enthalten hat, hat Deine Lehrerin an welcher Stelle mit dem Kosinus gelöst?

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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