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Verwirrung durch Vorzeichen

Schüler Fachschulen, 10. Klassenstufe

Tags: Quadratische Funktion, Vorzeichen, Vorzeichenfehler, Wurzel

Bardo aktiv_icon

09:16 Uhr, 12.05.2017

Hallo,

ich hoffe, ihr könnt mir bei meiner Frage weiterhelfen. Es scheint eigentlich ganz einfach, aber ich habe mich wohl zu intensiv mit Addition, Subtraktion und Vorzeichen beschäftigt.

Die Gleichung "x²-16=0" würde man folgendermaßen auflösen:

x²-16=0

| + 16

x²

= 16

|Wurzel

x = 4

L = {4; - 4}

Was ich sehe ist aber folgendes:

x²-(+16)=0 |Wurzel
x²-(+4)

= 0 | + (+ 4)

x = 4

L = {4, + 4)

Es kommt dasselbe raus, aber ich habe das Gefühl, ich darf die Wurzel nicht direkt ziehen, da ein Minus vor der "16" steht. Aber gleichzeitig denke ich, dass das "-" nur der Operator und nicht das Vorzeichen der "16" ist und es also doch geht. Bitte helft mir.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
n-te Wurzel
Wurzel (Mathematischer Grundbegriff)
Quadratische Funktionen (Mathematischer Grundbegriff)
Quadratische Ergänzung

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Aus Funktionsgleichung Skizze erkennen
Aus Skizze Funktionsgleichung ablesen
Schnittpunkt mit der y-Achse bestimmen

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Edddi aktiv_icon

10:07 Uhr, 12.05.2017

. .

. puuhh, das ist totaler Murks! Da weiß man garnicht, was man antworten soll.

Es geht so:

x^{2} - 16 = 0

beise Seiten

+ 16

(Äquivalenzumformung)

x^{2} = 16

Wegen

{(x)}^{2} = {(- x)}^{2}

folgt:

x^{2} = 16 \Rightarrow x = \sqrt{16} \Rightarrow x = 4

{(- x)}^{2} = 16 \Rightarrow - x = \sqrt{16} \Rightarrow - x = 4 \Rightarrow x = - 4

Somit erhält man die beiden ERgebnisse

x = 4

und

x = - 4

. .

. im Allgemeinen wird jedoch einfach so umgeformt:

x^{2} = 16 \Rightarrow x = - + \sqrt{16} = \pm 4

Was garnicht geht ist:

\sqrt{x^{2} - (+ 16)} = 0

x^{2} - (+ 4) = 0

;-)

Bardo aktiv_icon

10:16 Uhr, 12.05.2017

Sorry, ich habe bei dem 2. Lösungsansatz einen Fehler gemacht.

x²-(+16)=0 |Wurzel

x - (+ 4) = 0 | + (+ 4)

||nicht x²-(+4)=0

x = 4

Mir geht's nur darum, ob es prinzipiell richtig wäre, wenn man von einem Summanden einen positiven Wert subtrahiert, dass man gleich die Wurzel ziehen kann. Ich hab's mit den Vorzeichen. Der Rechenweg ist nicht das Problem.

tobit aktiv_icon

10:20 Uhr, 12.05.2017

Hallo zusammen!

@ Edddi
"

x^{2} = 16

⇒

x = \sqrt{16}

"
Das stimmt nicht. Aus

x^{2} = 16

können wir nicht auf

x = \sqrt{16}

schließen, wie das Gegenbeispiel

x = - 4

zeigt.

@ Bardo

Beachte dass es kein Rechengesetz gibt, dass dir die "Umformung" (Achtung, falsch->)

\sqrt{x^{2} - 16} = \sqrt{x^{2}} - \sqrt{16}

erlauben würde.

Bei deinem ersten Versuch kommst du zwar zum richtigen Endergebnis, aber die Notation stimmt nicht ganz:
Wenn du bei

x^{2} = 16

auf beiden Seiten die Wurzel ziehst (was eine erlaubte Äquivalenzumformung ist, da beide Seite

\geq 0

sind), erhältst du die Gleichung

\sqrt{x^{2}} = \sqrt{16}

, also die Gleichung

∣ x ∣ = 4

, die wiederum äquivalent zu "

x = 4

oder

x = - 4

" ist.
Beachte also, dass gilt:

\sqrt{x^{2}} = ∣ x ∣

und im Allgemeinen nicht etwa

\sqrt{x^{2}} = x

.

Viele Grüße
Tobias

Bardo aktiv_icon

10:29 Uhr, 12.05.2017

Meine Irritation liegt halt da, dass ich die Gleichung folgendermaßen sehe: x²-(+16)=0 das x² und die

(+ 16)

sind beides Werte, aus denen sich eine Wurzel ziehen lässt. Wo ist denn da mein Denkfehler?

tobit aktiv_icon

11:53 Uhr, 12.05.2017

Danke an den Moderator Matheboss und den Admin für das schnelle Beheben des Anzeigeproblems dieses Threads! :-)

" Mir geht's nur darum, ob es prinzipiell richtig wäre, wenn man von einem Summanden einen positiven Wert subtrahiert, dass man gleich die Wurzel ziehen kann. Ich hab's mit den Vorzeichen. "

Nun, es gilt z.B.

\sqrt{16} = 4

und

\sqrt{25} = 5

, aber von

16 - 25

kannst du nicht die Wurzel ziehen, da

16 - 25 = - 9 < 0

gilt.

Umgekehrt kannst du von

25 - 16

die Wurzel ziehen und erhältst

\sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3

, was etwas ganz anderes ist als

\sqrt{25} - \sqrt{16} = 5 - 4 = 1

!

" Meine Irritation liegt halt da, dass ich die Gleichung folgendermaßen sehe: x²-(+16)=0 das x² und die (+16) sind beides Werte, aus denen sich eine Wurzel ziehen lässt. Wo ist denn da mein Denkfehler? "

Natürlich kannst du, wenn es dir Freude bereitet ;-) , die Wurzeln aus

x^{2}

und aus

16

betrachten.
Du erhältst dann

\sqrt{x^{2}} = ∣ x ∣

und

\sqrt{16} = 4

.

Die Frage ist nur, was das mit dem Lösen der Gleichung

x^{2} - 16 = 0

zu tun hat.

Wenn du auf beiden Seiten der Gleichung die Wurzel ziehen möchtest (was du nur im Falle

x^{2} - 16 \geq 0

sinnvoll tun kannst), erhältst du die Gleichung

\sqrt{x^{2} - 16} = \sqrt{0}

, also

\sqrt{x^{2} - 16} = 0

.
Nun ist

\sqrt{x^{2} - 16}

ja im Allgemeinen etwas völlig anderes als

\sqrt{x^{2}} - \sqrt{16}

, so dass ich nicht sehe, wie du auf die Gleichung

x - (+ 4) = 0

kommst.

Die Gleichungen

x - (+ 4) = 0

oder

x = 4

sind im Übrigen auch gar nicht äquivalent zur Ausgangs-Gleichung

x^{2} - 16 = 0

, denn sie haben nur eine Lösung (nämlich

x = 4

), während die Ausgangsgleichung die beiden Lösungen

x = 4

und

x = - 4

besitzt.

Ein anderes Beispiel: Betrachten wir mal die Gleichung

x^{2} - 16 = 9

.
Diese Gleichung kannst du NICHT äquivalent zu (Achtung, falsch->)

\sqrt{x^{2}} - \sqrt{16} = \sqrt{9}

umformen!
Du würdest dann mit dieser fehlerhaften Umformung auch zu falschen Ergebnissen kommen, wie du nachrechnen kannst.

Atlantik aktiv_icon

12:23 Uhr, 12.05.2017

Weg über das 3. Binom:

(a + b) \cdot (a - b) = a^{2} - b^{2}

y = (x + 4) \cdot (x - 4)

ist auch die Nullstellenform der Parabel

y = x^{2} - 16

(x + 4) \cdot (x - 4) = 0

x_{1} = - 4

und

x_{2} = 4

mfG

Atlantik

anonymous

13:04 Uhr, 12.05.2017

"Was ich sehe ist aber folgendes:

x²-(+16)=0 |Wurzel
x²-(+4)

= 0 | + (+ 4)

x=4"

Dein Fehler ist doch eigentlich folgender:

x^{2} - (+ 16) = 0

lWurzel

x - (+ 4) = 0

UND

x - (- 4) = 0

x - 4 = 0

und

x + 4 = 0

Also

x 1 = 4

und

x 2 = - 4

Bardo aktiv_icon

13:25 Uhr, 12.05.2017

Ich glaube, du hast mich verstanden. Die Art und weise der Lösung ist also korrekt im Bezug des Ziehens der Wurzel aus "x²-(+16)=0" ? also

- \to x - (+ 4) = 0

Erst in dem Moment, in dem ich die Klammer auflöse bin ich gezwungen umzustellen.

tobit aktiv_icon

13:33 Uhr, 12.05.2017

@ Hershey

" Dein Fehler ist doch eigentlich folgender:

x2-(+16)=0 lWurzel
x-(+4)=0 UND x-(-4)=0
x-4=0 und x+4=0
Also x1=4 und x2=-4 "

Wenn ich dich richtig verstehe, soll dies keine fehlerhafte Version, sondern ein Lösungsvorschlag zur Lösung der Gleichung

x^{2} - (+ 16) = 0

sein?

Mal abgesehen davon, dass du wohl "oder" statt "und" meinst (schließlich besitzt "

x - 4 = 0

und

x + 4 = 0

" keine Lösung, während "

x - 4 = 0

oder

x + 4 = 0

" die beiden Lösungen

x = 4

und

x = - 4

besitzt):

Wie begründest du den ersten Schritt, den du mit "|Wurzel" beschrieben hast?
Also warum ist

x^{2} - (+ 16) = 0

äquivalent zu "

x - (+ 4) = 0

oder

x + (- 4) = 0

"?
Wenn ich in der Ausgangsgleichung auf beiden Seiten die Wurzel ziehe (was etwas fraglich ist, weil

x^{2} - (+ 16)

für manche Zahlen x gar nicht

\geq 0

ist), erhalte ich etwas Anderes, nämlich

\sqrt{x^{2} - (+ 16)} = 0

tobit aktiv_icon

13:43 Uhr, 12.05.2017

@ Bardo

" Die Art und weise der Lösung ist also korrekt im Bezug des Ziehens der Wurzel aus "x²-(+16)=0" ? also -→x-(+4)=0 "

Die Gleichung

x^{2} - (+ 16) = 0

besitzt zwei Lösungen (nämlich

x = 4

und

x = - 4

).
Die Gleichung

x - (+ 4) = 0

besitzt nur eine Lösung (nämlich

x = 4

).

Also sind die beiden Gleichungen nicht äquivalent.

Hast du dich mal mit dem Beispiel

x^{2} - 16 = 9

auseinandergesetzt?
Dann siehst du, dass die beiden Lösungen dieser Gleichung völlig anders aussehen als z.B. die Lösung der Gleichung

x - 4 = 3

.

(Wenn dir etwas an meinen Antworten unklar ist, bitte ich dich selbstverständlich um entsprechende Nachfragen.)

Bardo aktiv_icon

20:47 Uhr, 12.05.2017

Ich trenne krampfhaft Vorzeichen und Operationszeichen. Vielleicht kennst du gute Lektüre warum man Vorzeichen weglassen kann.

tobit aktiv_icon

22:00 Uhr, 12.05.2017

Ich weiß nicht, ob ich deine Frage richtig verstehe (sie scheint in eine völlig andere Richtung zu gehen als das Lösen der Gleichung aus dem Ausgangspost):

Möchtest du wissen, warum z.B. 12+(-5)=12-5 ist?

Vielleicht liege ich damit auch völlig daneben.
Kannst du in diesem Fall ein Beispiel posten, in dem man ein Vorzeichen weglassen kann aber du nicht nachvollziehen kannst, warum?

tobit aktiv_icon

22:06 Uhr, 12.05.2017

Ergänzung:

Die Schreibweisen +16 und 16 bedeuten das Gleiche:
Beide bezeichnen die Zahl 16, die du seit Grundschulzeiten kennst.

Bardo aktiv_icon

22:08 Uhr, 12.05.2017

Das Beispiel ist schon gut. Ist das "-" in der vereinfachten Schreibweise jetzt Operator oder Vorzeichen. Wenn Vorzeichen, wo ist dann der Operator?

tobit aktiv_icon

22:12 Uhr, 12.05.2017

" Ist das "-" in der vereinfachten Schreibweise jetzt Operator oder Vorzeichen. "

Im Term 12-5 ist - der Subtraktions-Operator und kein Vorzeichen.

Soll ich einen anschaulichen Erklärungsversuch mittels eines Sachbeispiels starten, warum man 12+(-5) als 12-5 erklärt oder geht das in eine andere Richtung als die von dir Gewünschte?

Bardo aktiv_icon

22:32 Uhr, 12.05.2017

Das reicht schon, danke. Bin ein chronischer Überdenker.

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