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Von Nullstelle auf Extremstelle schließen

Schüler

Tags: Analysis, extremstelle, Nullstellen

Sabine2 aktiv_icon

18:41 Uhr, 14.09.2012

Hallo,
folgende Aufgabe bereitet mir Kopfschmerzen:

Ich habe einen Schar gegeben durch

f_{k} (x) = (x^{2} + 4 x + k) \cdot e^{- x}, k \in ℝ

.
Nun soll ich Begründen, dass eine Funktion, deren Graph eine Nullstelle hat, auch stets eine Extremstelle hat

a)

durch Vergleich der Gleichungen

f_{k} (x) = 0

und

f_{k}' (x) = 0

b)

durch Betrachtung des Verhaltens von

f (x)

für

x \to \infty

bzw.

x \to - \infty,

ohne

f_{k}' (x)

zu betrachten.

a) f_{k} (x) = (x^{2} + 4 x + k) \cdot e^{- x} = 0

führt auf

x = - 2 \pm \sqrt{4 - k}

f_{k}' (x) = - e^{- x} \cdot (x^{2} + 2 x - 4 + k) = 0

führt auf

x = - 1 \pm \sqrt{5 - k}

Und was sagt mir das jetzt? ;-)

b) x \to \infty : f_{k} (x) \to 0

x \to - \infty : f_{k} (x) \to \infty

Auch hier finde ich keine Bedeutung..

Ich hoffe ihr könnt mir Ideen liefern :-)
Danke und Gruß,
Sabine

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Nullstellen (Mathematischer Grundbegriff)
Vielfachheit einer Nullstelle (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Allgemeine Exponentialfunktion - Fortgeschritten
Allgemeine Sinusfunktion
Nullstellen
Nullstellen bestimmen
Polynomdivision

Allgemeine Exponentialfunktion - Fortgeschritten
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Nullstellen
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19:17 Uhr, 14.09.2012

Zu zeigen: Wenn eine Nullstelle von

f_{k}

existiert, dann existiert auch eine Extremstelle.

a)

Die von Dir berechneten x-Koordinaten der (möglichen) Extremstellen existieren ja nicht immer. Du könntest an Hand der Existenz dieser x-Koordinaten die Behauptung zeigen.
Schöner wäre vielleicht, wenn Du aus der Existenz von Nullstellen der Parabel

x^{2} + 4 x + k

auf die Existenz von Nullstellen der Parabel

x^{2} + 2 x - 4 + k

schließen könntest. Dazu könnte man sich ansehen, welche Verschiebungen der einen zur anderen führen.

b)

Nimm mal die beiden Grenzwerte und versuche in einer Zeichnung die beiden ohne Extremwert zu verbinden. Anschließend versuche das gleiche, wenn es eine Nullstelle gibt.

Sabine2 aktiv_icon

20:32 Uhr, 14.09.2012

Bei

a)

verstehe ich immerhin was du meinst, kann damit aber nichts anfangen..

b)

Nunja wenn ich keine Nullstelle habe, kann ich die Punkte zwar verbinden, habe aber keine Extremstelle. Wenn ich eine Nullstelle habe, gibt es zwei Möglichkeiten: Entweder der Graph schneidet oder berührt die x-Achse in der Nullstelle. Beides zieht zwangsweise eine Extremstelle mit sich.

Matlog aktiv_icon

21:55 Uhr, 14.09.2012

Dann probier ich´s bei

a)

nochmal anders:
Wenn Du zeigst, dass der Scheitelpunkt von

x^{2} + 2 x - 4 + k

tiefer liegt als der von

x^{2} + 4 x + k,

dann hast Du doch gewonnen. Wenn die höhere von zwei nach oben geöffneten Parabeln Nullstellen hat, dann automatisch auch die tiefer liegende.

Du kannst aber sicher auch ganz andere (eigene) Begründungen finden.

Sabine2 aktiv_icon

10:16 Uhr, 15.09.2012

Okay, ich bringe es also auf die Scheitelpunktform:

x^{2} + 4 x + k \Leftrightarrow {(x + 2)}^{2} - 4 + k \Rightarrow S_{1} (- 2 | - 4 + k)

x^{2} + 2 x - 4 + k \Leftrightarrow {(x + 2)}^{2} - 8 + k \Rightarrow S_{2} (- 2 | - 8 + k)

Für alle

k > 0

liegt

S_{2}

tiefer als

S_{1}

.
Richtig?

Matlog aktiv_icon

10:36 Uhr, 15.09.2012

Im Prinzip richtig.
Aber der zweite Scheitelpunkt ist falsch. Dort steht doch jetzt

2 x

statt

4 x

.
Die Folgerung für die Lage der Scheitelpunkte gilt für alle

k \in ℝ

.

(Und übrigens: wo Du

\Leftrightarrow

schreibst, gehört ein = hin.)

Sabine2 aktiv_icon

11:29 Uhr, 15.09.2012

Also der 1. Scheitelpunkt ist richtig, gut.

k \in ℝ

ist ist okay, nur in der Aufgabe steht

k > 0,

das habe ich übernommen ;-)

x^{2} + 2 x - 4 + k = x^{2} + 2 x + 1 - 1 - 4 + k = {(x + 1)}^{2} - 5 + k \Rightarrow S_{2} (- 1 | - 5 + k)

Stimmts so?

Okay, wieso ist

\Leftrightarrow

denn hier falsch?

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11:36 Uhr, 15.09.2012

Jetzt passt es!

(\Leftrightarrow

macht nur zwischen zwei Aussagen einen Sinn, nicht zwischen zwei Termen. Aussagen können wahr oder falsch sein, Terme können gleich sein, aber nicht wahr oder falsch.)

Sabine2 aktiv_icon

11:42 Uhr, 15.09.2012

Aber man sagt doch auch

x = ln (\frac{t}{2}) \Leftrightarrow e^{x} = \frac{t}{2}

Sabine2 aktiv_icon

11:45 Uhr, 15.09.2012

Ich bin grad dabei, das aufzuschreiben.
Kann man schreiben:

f_{k} (x) = 0 : (x^{2} + 4 x + k) \cdot e^{- x} = 0 \Rightarrow x^{2} + 4 x + k = 0

Oder kann man sogar

\Leftrightarrow

nehmen?

Matlog aktiv_icon

11:46 Uhr, 15.09.2012

Ja richtig. Hier stehen links und rechts vom

\Leftrightarrow

jetzt aber Gleichungen, die wahr oder falsch sein können.
Aber welchen Sinn würde etwas wie

3 x \Leftrightarrow y

machen?

Matlog aktiv_icon

11:50 Uhr, 15.09.2012

Bei dem, was Du jetzt aufgeschrieben hast, gilt sogar Äquivalenz.

Sabine2 aktiv_icon

11:59 Uhr, 15.09.2012

Wieso gilt da Äquivalenz?

Im Prinzip habe ich doch aber nur gezeigt, dass wenn

f_{k} (x)

Nullstellen hat, es immer auch Kandidaten für Extremstellen gibt. Um definitiv zu sagen, dass dann auch Extremstellen vorliegen, fehlt noch noch etwas, oder?

Matlog aktiv_icon

12:08 Uhr, 15.09.2012

Damit hast Du vollkommen Recht!
Aber oben hast Du nur geschrieben:

(x^{2} + 4 x + k) \cdot e^{- x} = 0 \Rightarrow x^{2} + 4 x + k = 0

Und das gilt auch in die andere Richtung (ist ja sogar die einfachere Folgerung).
Zu irgendwelchen Extrema steht da ja noch gar nichts.

Sabine2 aktiv_icon

12:10 Uhr, 15.09.2012

Gut und wie zeige ich nun, dass es definitiv ein Extremum ist, ohne

f_{k}'' (x)

zu benutzen?

Matlog aktiv_icon

12:14 Uhr, 15.09.2012

Ich sehe eigentlich keinen Grund, f_k´´(x) nicht benutzen zu dürfen.
Wenn Du das aber nicht willst, dann begründe mit einem Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung an den kritischen Stellen.

Sabine2 aktiv_icon

12:21 Uhr, 15.09.2012

Okay, dann nehme ich doch

f_{k}'' (x) .

. klingt einfacher als der Vorzeichenwechsel. Ich dachte nur, weil in der Aufgabe ausschließlich

f (x)

und

f' (x)

benutzt werden soll.

Was fange ich denn mit

f_{k} (x)

an? Sie muss ja

\neq 0

sein, aber was soll ich für

x

einsetzen?

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12:27 Uhr, 15.09.2012

Naja, dann musst Du natürlich Deine errechneten Kandidaten für die Extrempunkte in f´´(x) einsetzen.

Das Argument mit dem Vorzeichenwechsel halte ich für einfacher:
Wenn

f

eine Nullstelle besitzt, dann hat f´ mindestens zwei Nullstellen (wegen der tieferen Lage). Wenn eine Parabel zwei Nullstellen hat, dann ändern sich dort automatisch die Vorzeichen (nur bei einer Nullstelle ändert sich das Vorzeichen nicht).
Das

- e^{- x}

hat ja gar keinen Einfluss auf das Vorzeichen.

Sabine2 aktiv_icon

12:29 Uhr, 15.09.2012

Wieso ist denn ein Vorzeichenwechsel ein hinreichendes Kriterium für eine Extremstelle?

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12:32 Uhr, 15.09.2012

Weil Du dann an der Stelle selbst eine Steigung von Null hast und links davon steigt es und rechts davon fällt es (oder umgekehrt). Das reicht doch für ein Extremum!

Sabine2 aktiv_icon

12:40 Uhr, 15.09.2012

Also ich habe wegen

f_{k}' (x) = 0

einen Kandidaten für eine Extremstelle gefunden.

f_{k}' (x) = 0

liefert aber mindestens 2 Nullstellen, weil es eine Parabel ist. Dann gucke ich mir diese Nullstellen genauer an. Der Graph kommt von "oben" (positive Steigung), geht durch die Nullstelle (Steigung

0)

und fällt dann weiter ins negative. Ich habe also einen

\pm

Vorzeichenwechsel. Das spricht doch für ein Tiefpunkt, oder? Hätte ich ein

- +

Vorzeichenwechsel, wäre es ein Hochpunkt. Das wäre dann bei der zweiten Nullstelle der Fall. Wenn

f_{k} (x)

also eine Nullstelle hat, so hat

f_{k} (x)

genau einen Hochpunkt und einen Tiefpunkt.

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12:48 Uhr, 15.09.2012

Ja, das hört sich vernünftig an.

Prinzipiell:
Wenn f´das Vorzeichen von

+

nach - wechselt, dann ist das natürlich ein Hochpunkt. Unser Faktor

- e^{- x}

dreht die Vorzeichen aber nochmal um. (Meine Aussage, dass

- e^{- x}

keinen Einfluss auf das Vorzeichen hat, war sehr schlampig. Es hat keinen Einfluss auf den Wechsel des Vorzeichens.)

Sabine2 aktiv_icon

13:15 Uhr, 15.09.2012

Ne Moment..

\pm

Wechsel wäre Hochpunkt und

- +

Wechsel wäre Tiefpunkt, oder?

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13:20 Uhr, 15.09.2012

Ja, das hab ich gerade so geschrieben, hoffe ich.

Sabine2 aktiv_icon

13:26 Uhr, 15.09.2012

Ja genau, super.
Stimmt es, dass es nur Nullstellen für

k < 5

gibt? Für

k \geq 5

wäre der Scheitelpunkt ja oberhalb der x-Achse.
Dementsprechend gibt es nur Extremstellen für

k < 6,

die Begründung ist die selbe.

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13:49 Uhr, 15.09.2012

Verstehe nicht, wie Du jetzt darauf kommst.
Nullstellen gibt es für

k \leq 4

(für

k = 4

nur eine),
zwei Extremstellen für

k < 5 (k = 5

ergäbe einen Sattelpunkt).

Sabine2 aktiv_icon

14:55 Uhr, 15.09.2012

Das ist doch fast das selbe, nur dass ich bei dem Extrempunkt den Sattelpunkt dazugezählt habe.

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15:01 Uhr, 15.09.2012

Hm, also ganz oben hast Du geschrieben:

k \in ℝ;

nicht etwa

k \in ℤ

.
Und ein Sattelpunkt ist nun mal kein Extrempunkt.

Sabine2 aktiv_icon

15:40 Uhr, 15.09.2012

Ups, stimmt. Jetzt weiß ich was du meinst ;-)
Danke, dass du dir die Zeit genommen hast.

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