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Was ist größer? e^pi oder pi^e

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Tags: Beweis, Eulersche Zahl, größer, Komplexe Zahlen, Pi, Sonstiges

Wunderblume aktiv_icon

22:53 Uhr, 11.03.2013

Hallo wiedermal! Ich hätte wieder eine ganz dringende Frage an euch.

Was ist größer:

e^{π}

oder

π^{e}

. Mir ist schon klar, dass gilt:

e^{π} > π^{e},

da ja

e^{π} = 23,1406 . .

π^{e} = 22,459 . .

.

Nur soll ich das beweisen, und ich hab nicht wirklich eine Ahnung davon, wie das gehen soll. Ich hoffe mir kann jemand von euch da helfen, ich bräuchte einen verständlichen Beweis (vor allem brauch ich einen).

Vielen, vielen Dank

!!

Wunderblume

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
e-Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Kreiszahl (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Logarithmusgesetze - Einführung

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Shipwater aktiv_icon

23:02 Uhr, 11.03.2013

Tipp: Zeige

e^{π} > π^{e} \Leftrightarrow \frac{ln (e)}{e} > \frac{ln (π)}{π}

und untersuche dann

f : ℝ_{> 0} \to ℝ, x \mapsto \frac{ln (x)}{x}

auf Monotonie, Extrema.

Wunderblume aktiv_icon

23:06 Uhr, 11.03.2013

Und wenn ich dann die Monotonie gezeigt habe (wie weiß ich nicht, mit Quotientenkriterium?), dann ist es bewiesen?

Man muss ja dann die Äquivalenz zeigen oder? Also in zwei Richtungen.

Shipwater aktiv_icon

11:13 Uhr, 12.03.2013

Nix da zwei Richtungen. Du willst

e^{π} > π^{e}

zeigen. Da diese Aussage äquivalent ist zu

\frac{ln (e)}{e} > \frac{ln (π)}{π}

reicht es dafür die letztere Ungleichung zu beweisen. Und das ist einfach weil man

x \mapsto \frac{ln (x)}{x}

betrachten kann. Um genau zu sein sollst du zeigen, dass

x \mapsto \frac{ln (x)}{x}

bei

x = e

maximal wird.

Wunderblume aktiv_icon

20:31 Uhr, 12.03.2013

Also ich hab jetzt das bewiesen (etwas anders), aber doch ähnlich:

e^{π} > π^{e} \Leftrightarrow e^{\frac{1}{e}} > π^{\frac{1}{π}}

Nun definieren wir eine Funktion:

F (x) = x^{\frac{1}{x}}

F' (x) =

e^(1/x*lnx)

\cdot \frac{1}{x^{2}} \cdot

(1-lnx)
Diese Funktion setzen wir 0.

Da e^(1/x*lnx) und

\frac{1}{x^{2}}

immer größer als 0 sind, muss gelten:

1-lnx

= 0 - \to

Wir haben ein lokales Maximum bei

x = e - \to

und daher sinkt

F (x)

im Intervall

(e, \infty)

!!!

das versteh ich nicht, warum die Funktion nun sinkt

!!!

e < π \Rightarrow F (e) > F (π) \Rightarrow e^{\frac{1}{e}} > π^{\frac{1}{π}} \Rightarrow e^{π} > π^{e}

q . e . d

.

Und dass das

e^{π} > π^{e} \Leftrightarrow e^{\frac{1}{e}} > π^{\frac{1}{π}}

gilt weiß man einfach? Beziehungsweise was du vorgeschlagen hast?

GLG

Shipwater aktiv_icon

10:58 Uhr, 13.03.2013

Das ergibt sich ja einfach durch Äquivalenzumformungen. Mit

f : x \mapsto \frac{ln (x)}{x}

werden die Rechnungen aber leichter. Als Ableitung erhält man dann

f' : x \mapsto \frac{1 - ln (x)}{x^{2}}

und man liest sofort ab

f' > 0

für

0 < x < e, f' (e) = 0

und

f' < 0

für

x > e

Damit ist

\frac{ln (x)}{x}

bei

x = e

maximal also insbesondere

\frac{ln (e)}{e} > \frac{ln (π)}{π}

was aber gleichbedeutend ist mit

e^{π} > π^{e}

Die besagte Äquivalenz ist übrigens im Handumdrehen gezeigt:

e^{π} > π^{e} \Leftrightarrow ln (e^{π}) > ln (π^{e}) \Leftrightarrow π ln (e) > e ln (π) \Leftrightarrow \frac{ln (e)}{e} > \frac{ln (π)}{π}

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