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Zwei Lösungen für Dreieckkonstruktion?
Schüler
Tags: Dreieck, Sinussatz
 
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Hallo, für ein Dreieck sind die Seiten b = 4 cm und c = 6 cm sowie der Winkel Beta = 30 Grad gegeben. Die Frage ist ob Gamma die Größe von etwa 131,4 und 48,6 annehmen kann. Frage: Rechnerisch gehen mit dem Sinunssatz beide Winkel, aber könnte man mit den Angaben auch ein Dreieck mit Gamma = 48,6 Grad konstruieren? ------ Lösung sollte sein, die Grade im 30 Grad Winkel durch B weiter durchzuziehen und dann erhält man einen zweiten Schnittpunkt mit dem Kreis und damit ein zweites Dreieck mit Gamma rund 48,6 Grad. ------ Rechnung: b / sin(Beta) = c / sin(Gamma) sin(Gamma) / c = sin(Beta) / b | * c sin(Gamma) = c * sin(Beta) / b sin(Gamma) = 6 * sin(30) / 4 sin(Gamma) = 0,75 Gamma = sin-1(0,75) Gamma = 48,6 Grad Aufgrund der Symmetrieeigenschaften der Funktion sin (x) gilt auch: Gamma = sin^-1(0,75) Gamma = 90 Grad + (90 Grad - 48,6 Grad) = 131,4 Grad   Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Sinussatz (Mathematischer Grundbegriff) Rechenregeln Trigonometrie Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: Berechnungen im Dreieck mit dem Sinussatz Flächeninhalt und Umfang eines Dreiecks Flächeninhalte Winkelsumme |
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Du hast schon sehr löblich eine Skizze angefertigt. Die Skizze konsequent zu Ende geführt beantwortet sicherlich den überwiegenden Teil aller Rückfragen... PS: Auf den Taschenrechnern mag viel zu oft ein verwirrendes stehen, wenn eigentlich die Umkehrfunktion arcsin gemeint ist. Ich empfehle unbedingt, wenn der arcsin gemeint ist, auch unbedingt arcsin zu schreiben.  |
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@calc007 . beantwortet sicherlich den überwiegenden Teil aller Rückfragen... Also ich sehe im Beitrag von Joshua2 nur eine einzig Frage und die könnte man ganz einfach auch mit "Ja" beantworten, oder? Deine Ansicht zur Unsitte, anstelle von zu schreiben teile ich voll und ganz. Ebenso ist es unsinnig, dass der dekadische Logarithmus am TR meist mit bezeichnet wird anstelle korrekt mit . Hier kann nicht einmal das Argument des begrenzten Platzes, der auf der Taste zur Verfügung steht, als Begründung herhalten. Dass in der Literatur dann auch noch manchmal für den natürlichen Logarithmus anstelle von verwendet wird macht die Verwirrung dann nur noch komplett @Joshua2 Ein wenig irritiert mich deine Frage aber schon, da du sie dir ja eigentlich selbst beantwortest und du auch den Weg der geometrischen Konstruktion zu dieser zweiten Lösung (die für mich eigentlich die erste ist) angibst.  Generell gilt: Sind von einem Dreieck zwei Seiten und ein einer dieser beiden Seiten gegenüberliegende Winkel gegeben, kann die Aufgabe keine, genau eine oder sogar zwei Lösungen haben. Du berechnest in jedem Fall erstmal den Winkel, der der anderen Seite gegenüberliegt mit dem Sinussatz. Die Funktion wird dir immer nur Winkel im Bereich liefern und für positive Seitenlängen natürlich auch nur positive Winkel. Den Winkel für eine eventuelle zweite Lösung bekommst du dann durch Ergänzung auf also . Liegt der Winkel der größeren der beiden Seiten gegenüber, so gibt es nur genau eine Lösung. Du kannst dir übungshalber ja die Aufgabe mit anstelle und durchrechnen und auch zeichnen lassen. Du wirst sehen, dass der Kreis um den Punkt A mit dem Radius die Seite a einmal 'links' von und das zweite Mal 'rechts' von schneidet. Für dieses zweite Dreieck ist aber und nicht und es ist somit keine Lösung. Liegt der Winkel, so wie bei deinem Beispiel, der kleineren Seite gegenüber, dann kann es gar keine Lösung geben nur eine oder deren sogar zwei. Der Fall wird auch gern mit "Ssw" bezeichnet, wobei ich diese abkürzenden Bezeichnungen aber mehr irritierend als hilfreich finde. Du erkennst den Fall, dass es gar keine Lösung gibt, wenn der TR bei Anwendung der Funktion 'Probleme' macht, also einen Fehler anzeigt oder einen nicht-reellen Winkel liefert. Dann ist, mit deinen Angabegrößen, . Das wäre zum Beispiel bei und der Fall. Geometrisch erkennst du das daran, dass der Kreis mit Radius die Seite a gar nicht schneidet. Der Fall, dass es genau eine Lösung gibt, liegt dann vor, wenn sich der erste berechnete Winkel mit einstellt. Das wäre zB bei und der Fall. Der Kreis um A mit Radius berührt nun die Seite in nur einem Punkt. Ansonsten, so wie in deiner Originalangabe, gibt's zwei verschiedene Lösungen und den Winkel für die zweite Lösung bekommst du dann durch Ergänzung auf also . |
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