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e^wurzel(x) und die Stammfunktion

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: e-Funktion, Potenzen, Stammfunktion

tomy1169 aktiv_icon

02:56 Uhr, 06.01.2009

Hallo,
ich sitze nun schon etliche Stunden bei dem Versuch das Integral von (1/2*sqrt(x))*(e^sqrt(x)) mit (x>0)

zu lösen. Nun, ich hoffe ich gehe recht in der Annahme dass hier die partielle Integration ein sinnvoller Ansatz wäre.

Dazu habe ich bereits die Ableitung von f=1/2*sqrt(x) => f '=-1/4*x^(3/2) bestimmt.

Doch bei der Stammfunktion von e^sqrt(x) komme ich nicht weiter. Klar kann ich mir diese mit Mupad oder Mathematica ausgeben lassen, aber ich kann sie mir nicht herleiten.

Für Lösungsvorschläge wäre ich dankbar...

Ich hatte zur Eingabe den Formeleditor benutzt, aber irgendwie wird da nichts so angezeigt wie in der Vorschau zu sehen, komisch.

Gruß Tom

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Bestimmtes Integral (Mathematischer Grundbegriff)
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
e-Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Potenzregeln (Mathematischer Grundbegriff)
Rechnen mit Potenzen

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Stammfunktion
e-Funktion
ln-Funktion

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

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03:08 Uhr, 06.01.2009

Leite doch mal e hoch wurzel(x) ab ;-)

tomy1169 aktiv_icon

03:21 Uhr, 06.01.2009

Ich weiss dass sich e hoch x nicht verändert beim ab- oder aufleiten, aber f = e hoch wurzel(x) gibt laut mupad soetwas: f '= (e hoch wurzel(x)) * (ln(e)/2*wurzel(x))

Ich komme allerdings auf: f '= wurzel(x)*e hoch wurzel(x) - 1

Brauche wohl doch noch nen Schubs...

BjBot aktiv_icon

03:25 Uhr, 06.01.2009

mupad hat recht, aber vergiss doch mal die ganzen Vorrechenprogramme, das kannst du doch auch selbst ;-)

ln(e)=1

Von Hand leitet man mit der Kettenregel ab.

tomy1169 aktiv_icon

04:06 Uhr, 06.01.2009

Ok,

ich versuchs mal:

Kettenregel: ${(f (g_{(x)}))}^{'} = f^{'} (g_{(x)}) \cdot {g^{'}}_{(x)}$

Dann ist ${f^{'}}_{(g_{(x)})} = e^{\sqrt{x}} = e^{\frac{1}{2}}$ und es folgt ${g_{(x)}}^{'} = \frac{1}{2} \cdot x^{\frac{1}{2} - 1} = \frac{1}{{2 \cdot x}^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{{2 \cdot x}^{\sqrt{x}}}$

somit müsste dann ${(f_{(g_{(x)})})}^{'} = \frac{e^{\sqrt{x}} \cdot 1}{2 \cdot x^{\sqrt{x}}}$ sein. Wobei 1 der ln(e) ist.

Aber wie leite ich $f$ nun auf?

Vielen Dank für den Hinweis, ich muss nun aber erstmal ins Bett Gute Nacht :-)

Astor aktiv_icon

08:46 Uhr, 06.01.2009

hallo,
also zu den Ableitungen:

f (x) = e^{\sqrt{(} x)}

ergibt:

f ʹ (x) = e^{\sqrt{(} x)} * \frac{1}{2 * \sqrt{(} x)}

g (x) = \sqrt{(} x)

ergibt

g ʹ = \frac{1}{2 * \sqrt{(} x)}

tomy1169 aktiv_icon

12:07 Uhr, 06.01.2009

Hi,

ja mit der Ableitung komme ich jetzt klar. Nur weiss ich immer noch nicht wie ich die Stammfunktion herleite.

Ich habe es auch mit $\int \frac{{f^{'}}_{(x)}}{f_{(x)}} d x = \ln_{| f_{(x)} |}$ versucht, aber das gibt:

$\int \frac{\frac{e^{\sqrt{x}}}{2 \cdot \sqrt{x}}}{e^{\sqrt{x}}} d x = \frac{e^{\sqrt{x}}}{2 \sqrt{x} \cdot e^{\sqrt{x}}} = \ln | 2 \sqrt{x} \cdot e^{\sqrt{x}} |$ oder auch $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$

Aber irgendwie ist das alles Käse hab ich das Gefühl...

Hat vielleicht einer nen Tipp?

Die Stammfunktion soll ja $\int e^{\sqrt{x}} d x = 2 e^{\sqrt{x}} (\sqrt{x} - 1)$ sein.

Grüsse

Rentnerin

12:42 Uhr, 06.01.2009

Hallo Tom,

hast Du es schon folgendermassen probiert?

Substitution:

u = \sqrt{x}

liefert

d u = \frac{d x}{2 \sqrt{x}}

bzw.

d x = 2 u d u

und damit das neue Integral

\int 2 u e^{u} d u

und mit partieller Integration

= 2 (u e^{u} - \int e^{u} d u) = 2 (u e^{u} - e^{u}) = 2 e^{u} (u - 1)

also

2 e^{\sqrt{x}} (\sqrt{x} - 1)

.

Gruß Rentnerin

BjBot aktiv_icon

14:13 Uhr, 06.01.2009

Es ging hier doch nur um eine Stammfunktion von

f (x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot e^{\sqrt{x}}

Ich forderte den Fragesteller auf mal

g (x) = e^{\sqrt{x}}

abzuleiten, damit er erkennt, dass g(x)=F(x) gilt - mehr ist es doch nicht...

Gruß Björn

MBler07 aktiv_icon

15:08 Uhr, 06.01.2009

Als kleine Ergänzung für tomy:
Du solltest dich mal darüber informieren wie man die eulersche Zahl bei mupad eingibt.
Ansonsten wirst du nämlich noch des öfteren komische Ergebnisse erhalten.
Hierbei ist es zufälligerweise egal.
Grüße

tomy1169 aktiv_icon

16:38 Uhr, 06.01.2009

Hallo,

so nun denke ich kriege ich das hin, dank Eurer Antworten.Ich möchte nun noch Schritt für Schritt erklären wie ich zur Lösung komme, ich bitte um Rückmeldungen fals ich hier und da total daneben liege.

Zu lösendes Integral: $\int e^{\sqrt{x}} d x$

Da es sich hier mit $e^{\sqrt{x}}$ um eine verschachtelte Funktion handelt und $e^{n}$ sowohl Auf- als auch Abgeleitet $e^{n}$ ergibt, ist eine Substitution sinnvoll.

Substittution: $u = \sqrt{x}$

Ableitung von $\sqrt{x}$ substituiert: $d u = \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} d x = \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} d x = \frac{1}{2 \sqrt{x}} d x$

Dann nach $d x$ umstellen um $d x$ im substituierten Integral durch $d u$ ersetzen zu können:

$d x = 2 \sqrt{x} d u$

nun das substituierte Integral aufschreiben: $\int 2 \overset{f}{\overset{︷}{u}} \overset{g^{'}}{\overset{︷}{e^{u}}} d u$ mit $f^{'} = 1$ und $g = e^{u}$

Dadurch ensteht nun ein Integral aus zwei Funktionen die ein Produkt ergeben, somit kann zur weiteren Lösung die partielle Integraton (Produktintegration) herangezogen werden:

$\int f_{(x)} \cdot {g^{'}}_{(x)} d x = f_{(x)} \cdot g_{(x)} - \int {f^{'}}_{(x)} \cdot g_{(x)} d x$

eingesetzt:

$\int 2 u e^{u} d u = 2 (u e^{u} - \int 1 \cdot e^{u} d u = 2 (u \cdot e^{u} - e^{u}) = 2 e^{u} (u - 1)$

Danach muss nur noch resubstituiert ( $u$ durch $\sqrt{x}$ zurückersetzen) werden,

dann erhalte ich: $\int e^{\sqrt{x}} d x = 2 e^{\sqrt{x}} (\sqrt{x} - 1)$

Sollten ich falsche Gründe für die diversen Schritte genannt haben, bitte korrigiert mich... :-)

Grüsse

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