ganzrationale Funktion 4. Grades bestimmen

Hi,

mal abgesehen davon, dass der Graph geeignet verschoben werden kann (soll),

gilt es, eine Funktion vierten Grades aufzustellen, deren allg. Gleichung wie folgt lautet:

${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^4+\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^3+\mathrm{c<mspace\; width="0.12em"></mspace>}{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2+\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

In der Funktion tauchen 5 Unbekannte auf, deren Wert zu bestimmen ist.

Dazu sind aus dem Aufgabentext Eigenschaften der Funktion in Gleichungen umzusetzen.

fünf solcher Gleichungen werden bei fünf Unbekannten benötigt.

z.B. "an der Nullstelle x=1" ergibt die Gleichung:${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(1\right)=0}$

"einen Sattelpunkt haben" heißt: ${\displaystyle {\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\prime }\left(1\right)=0}$ und ${\displaystyle {\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\prime \prime }\left(1\right)=0}$

drei Gleichungen hast du jetzt schon , zwei fehlen noch;

dann wird ein LGS aufgestellt, daraus sind die Variablen a,b,c,d und e zu bestimmen.

Gruß

pantau

Die letzten zwei Gleichungen die du aus "im Punkt P(2 und 2) die Steigung 2 haben"

gewinnen kannst lauten:

${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(2\right)=2}$ und

${\displaystyle {\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\prime }\left(2\right)=2}$

Damit hast du alle 5 Gleichungen; man erkennt, dass man die Ausgangsfunktion, die erste und die zweite Ableitung benötigt.

Diese müssen aufgestellt werden:

${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^4+\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^3+\mathrm{c<mspace\; width="0.12em"></mspace>}{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2+\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

${\displaystyle {\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\prime }\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=4\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^3+3\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2+2\mathrm{c<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

${\displaystyle {\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\prime \prime }\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=12\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^2+6\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+2\mathrm{c<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

jetzt muss man alles, was bekannt ist entsprechend in die vorgesehen Gleichungen für x und y einsetzen.

pantau

So einsetzen:

${\displaystyle \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(1\right)=0}$

${\displaystyle \mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cdot 1^4+\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cdot 1^3+\mathrm{c<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cdot 1^2+\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cdot 1+\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=0}$

${\displaystyle \mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+\mathrm{c<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=0}$; das ist deine erste Gleichung

pantau