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nullstelle der ln funktion a²x-lnx
Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe
Tags: ln-Funktion, Nullstellen
 
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guten tag, ich habe als hausaufgabe eine kurve(schar)diskussion auf. extrema, ableitungen war alles kein problem. ich finde nur die nullstelle der funktion f(x)=a²x-lnx nicht mein ansatz war folgender: 0=a²x-lnx a²x=lnx eulerischezahl(hoch)a²x= x weiter komme ich nicht. ich bin eigentlich der meinung, dass die fkt eine nullstelle hat, nur wo?? würde mich über hilfe freuen. christian |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: ln-Funktion (Mathematischer Grundbegriff) Nullstellen (Mathematischer Grundbegriff) Vielfachheit einer Nullstelle (Mathematischer Grundbegriff) Funktion (Mathematischer Grundbegriff) Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: Allgemeine Exponentialfunktion - Fortgeschritten Allgemeine Sinusfunktion Nullstellen Nullstellen bestimmen Polynomdivision Allgemeine Exponentialfunktion - Fortgeschritten Allgemeine Sinusfunktion Nullstellen Nullstellen bestimmen |
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Hey Cristian, also, der Graph der Funktionsschar hat glaube ich keine Nullstelle, denn: f(x)= a^2 *x -lnx 0= a^2 *x -lnx /+lnx lnx = a^2 *x /hoch die eulersche Zahl x = e^(a^2 *x) /-x Nur dann geht es. Und ich glaube dazu gibt es keine Lösung, deshalb hat der Graph keine Nullstelle, die y-Achse ist lediglich Asymptote. |
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Hallo Christian, (1) 0=a²x-lnx Gleichung (1) ist eine sogenannte transzendente Gleichung. Man kann sie nicht "in geschlossener Form" lösen, also wie sonst üblich, nach x auflösen.
Schau dir mal Gleichung (2) an und betrachte linke und rechte Seite als selbständige Funktionsterme: y = a²x ist (hat als Graph) eine Nullpunktsgerade mit der Steigung a², y= ln x ist die ln-Kurve. Gleichsetzen heißt, Schnittstellen berechnen. Für vorgegebenes a kannst du das nur zeichnerisch bzw. rechnerisch über numerische Näherungsverfahren. Noch soviel: Die Gerade (d.h. a²=e bzw. a=Wurzel(e)) berührt die ln-Kurve gerade im Punkt P(e/1). Geraden, die flacher verlaufen, schneiden die ln-Kurve in 2 Punkten, ausgenommen die x-Achse (y = 0), die die ln-Kurve natürlich auch nur einmal schneidet, Geraden, die steiler verlaufen, schneiden die ln-Kurve gar nicht. Also hat die gegebene Funktionenschar keine Nullstelle, falls a²> e genau eine Nullstelle, falls a²= e oder a²= 0 , und zwei Nullstellen, falls 0< a²< e [Hinweis: die ln-Kurve steigt "langsamer" als jede Potenzfunktion, und z.B. ist y = 0,5x auch eine Potenzfunktion, denn xhoch1 ist auch eine Potenz von x] Mfg mokka60
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