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reelle Nullstellen v. komplexen polynomen beweisen

Schüler Gymnasium, 13. Klassenstufe

Tags: Komplex, Nullstellen, polynom

Skyaya aktiv_icon

22:27 Uhr, 07.08.2011

Ich muss euch wieder mal stören. Also ich habe ein komplexes Polynom und soll beweisen, dass mindestens eine reelle Nullstelle existiert. keine komplexe Nullstelle gegeben.

P (z) = 2 z^{5} - z^{4} + 10 z^{3} - 5 z^{2} + 8 z - 4

wenn ich den Zwischenwertsatz anwenden kann, ist es einfach. Kann ich ihn anwenden? Oder muss man eine andere Methode anwenden?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Nullstellen (Mathematischer Grundbegriff)
Vielfachheit einer Nullstelle (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Allgemeine Exponentialfunktion - Fortgeschritten
Allgemeine Sinusfunktion
Nullstellen
Nullstellen bestimmen
Polynomdivision

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rundblick aktiv_icon

22:35 Uhr, 07.08.2011

Tipp:
was für ein Schluss über komplexe Lösungen kannst du aus der
Tatsache ziehen, dass alle Koeffizienten ganze (reelle) Zahlen sind?

Skyaya aktiv_icon

22:36 Uhr, 07.08.2011

Dass das Polynom reell und nicht komplex ist und dass es weitere komplexe Nullstellen geben muss?

rundblick aktiv_icon

22:39 Uhr, 07.08.2011

"Dass das Polynom reell und nicht komplex ist"

schon .. aber ein reelles Polynom kann doch komplexe Lösungen haben..

und was lässt sich über solche Nullstellen dann aussagen?

zweiter Versuch

\to .

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22:40 Uhr, 07.08.2011

weiß nicht, keine Ahnung

rundblick aktiv_icon

22:45 Uhr, 07.08.2011

mach dir halt mal ein ganz einfaches Beispiel:

x^{2} + 4 = 0

ermittle die Nullstellen und schreib auch die Linearfaktorzerlegung auf..

Verdacht ?

Skyaya aktiv_icon

22:51 Uhr, 07.08.2011

also

x²=

(- 4) (/ \sqrt{}

x =

i²

(\frac{+}{-}) 2

dann haben wir (x-(2i²)(x-(-2i²))

rundblick aktiv_icon

22:59 Uhr, 07.08.2011

na , das kannst du doch sicher besser:

x^{2} = - 4

x_{1} = 2 \cdot i

x_{2} = - 2 \cdot i

1) -

wie heisst also die Linearfaktorzerlegung? mach auch die Probe..

2) -

welche "Verwandtschaft" haben

x_{1}

und

x_{2}

Skyaya aktiv_icon

23:02 Uhr, 07.08.2011

sie sind komplex konjugiert. Das ist mir schon klar aber ich suche reelle Nullstellen.

Wenn ich zurückrechne kommt wieder etwas reelles raus. Es ist spät am Abend und ich lerne seit

10

Stunden. Wenn du die Güte hättest und mir sagen würdest, ob der ZWS angewendet werden kann, würde mir das sicherlich weiterhelfen

(-;

rundblick aktiv_icon

23:15 Uhr, 07.08.2011

nein du suchst nicht reelle Nullstellen

du sollst nachweisen, dass dein Polynom fünften Grades mindestens
eine reelle Nullstelle hat

und ich wollte dich dazu bringen, dass du erkennst, falls es bei einem
Polynom mit lauter reellen Vorzahlen komplexe Lösungen hat, dann müssen die
jeweils paarweise konjugiert komplex sein .. also wieviele nicht reelle Lösungen
kann es beim Grad 5 höchstens haben

. .

. usw..

aber ich mache dir noch einen zweiten Vorschlag:

untersuche die reelle Funktiion mit der Gleichung

f (x) = 2 x^{5} - x^{4} + 10 x^{3} - 5 x^{2} + 8 x - 4

von links nach rechts gelesen:
aus welchem Quadranten kommt der Graph .. in welchem Quadranten verschwindet er
und da du weisst, dass

f

überall stetig ist,kannst du daraus einen Schluss zuiehen..
welchen?

Skyaya aktiv_icon

23:23 Uhr, 07.08.2011

entschuldige ich wollte nicht unhöflich sein aber ich bin im Moment wirklich nicht auf der Höhe.

Nun für sehr große negative Zahlen bekomme ich etwas Negatives raus, da die höchste Potenz ungerade ist. Also vom dritten zum ersten Quadranten, wenn ich mich nicht irre.

Daraus folgt, dass die Funktion mindestens einmal die Abzisse durchqueren muss.

Habe ich Recht?

Also sollten es 4 komplexe Nullstellen und eine reelle sein oder?

rundblick aktiv_icon

23:32 Uhr, 07.08.2011

"Habe ich Recht? "

ja
und deshalb hat dein Polynom mal garantiert schon mal eine reelle Nullstelle
und das solltest du doch nachweisen

und zum anderen Vorschlag:
das Polynom 5-ten Grades kann höchstens 5 reelle Nullstellen haben

wenn es komplexe Lösungen gibt, dann entweder 2 oder

4,

da solche
paarweise konjugierte Komlexe haben (warum schon wieder??)
also
es kann

5,3

0der eine reelle Lösung geben .. übrigens: die eine ist bei

z = \frac{1}{2}

fertig

ok?

Skyaya aktiv_icon

23:37 Uhr, 07.08.2011

Wie kommst du auf

\frac{1}{2}

? Hast du einfach nur eingesetzt oder gibt es da eine Methode? Und bitte bitte könntest du mir noch schreiben, ob ich den ZWS einsetzen kann?

rundblick aktiv_icon

23:49 Uhr, 07.08.2011

\to

rundblick aktiv_icon

23:49 Uhr, 07.08.2011

der ZWS ist ja was für reelle Funktionen:

wenn du in deinem Fall weisst, dass zB im Intervall

0 \leq x \leq 1

f (x)

jeden Wert zwischen

- 4

und

+ 10

annimmt, dann hast du auch
die Bestätigung für mindestens eine reelle Nullstelle ..
wolltest du das wissen?

Skyaya aktiv_icon

23:52 Uhr, 07.08.2011

ja, genau! War mir aber nicht sicher, ob ich das durfte, da es his komplexes Polynom

Vielen Dank, hast mir wirklich weitergeholfen.

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