Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » vollständige Kurvendiskussion durchführen

vollständige Kurvendiskussion durchführen

Schüler

Tags: Analysis, Kurvendiskussion

Matheeumelinchen aktiv_icon

20:21 Uhr, 12.03.2011

Hallo liebe Leute,
ich Eumel hab mal wieder zu spät mit dem Lernen angefangen und stehe nun etwas doof da.
Ich möchte euch bitten, mir bei einer Kurvendiskussion zu helfen, damit ich das mal von Vorn bis Hinten durchgemacht habe und darauf dann aufbauen kann^^
Gefragt sind:
1. Definitionsbereich
2. Verhalten an den Rändern des Definitionsbereiches
3. Symmetrieverhalten
4. Achsenschnittpunkte
5. Ableitungen
6. Extrempunkte
7. Monotonien
8. Wendepunkte
9. Krümmungsverhalten

10

. Wertebereich

Gegeben ist die Funktion
f:f(x)=3x^4-8x^3+6x^2;xeR

Bis jetzt hab ich das hier:
1: Df=(-∞;\∞)

2 : lim_{x \to \infty} f (x) = \pm \infty

3: Ansatz:

Achsensymmetrie

f (x) = f (- x)

f (x) = 3 x^{4} - 8 x^{3} + 6 x^{2}

f (- x) = 3 {(- x)}^{4} - 8 {(- x)}^{3} + 6 {(- x)}^{2} = 3^{4} + 8 x^{3} + 6 x^{2}

f (x) \neq f (- x)

Punktsymmetrie

f (- x) = - f (x)

f (- x) = 3 x^{4} + 8 x^{3} + 6 x^{2}

- f (x) = - (3 x^{4} - 8 x^{3} + 6 x^{2}) = - 3 x^{4} + 8 x^{3} - 6 x^{2}

f (- x) \neq q - f (x)

4: Schnittpunkt an der Ordinate

f (0) = 3 \cdot 0^{4} - 8 \cdot 0^{3} + 6 \cdot 0^{2} = 0

Sy(0|0)
(Hier hab ich einfach für

x

Null eingesetzt, da ich ja schaue, wo die Funktion die

X

Achse schneidet, also

x = 0

ist. Ist das so immer richtig??)

f (x) = 3 x^{4} - 8 x^{3} + 6 x^{2}

f (x) = x (3 x^{3} - 8 x^{2} + 6 x)

x_{1} = 0

x_{2,3,4} = 3 x^{3} - 8 x^{2} + 6 x

x_{2,3,4} = x (3 x^{2} - 8 x + 6)

x_{2} = 0

x_{3,4} = 3 x^{2} - 8 x + 6

x_{3,4} = x^{2} - \frac{8}{3} x + 2

Jetzt pq-Formel

x_{3,4} = - \frac{\frac{8}{3}}{2} \pm \sqrt{{(\frac{\frac{8}{3}}{2})}^{2} - 6}

x_{3,4} = \frac{4}{3} \pm \sqrt{{(\frac{4}{3})}^{2} - 2}

x_{3,4} = \frac{4}{3} \pm \sqrt{\frac{16}{9} - 2}

Ich kann keine Wurzel einer negativen Zahl ziehen, also keine weiteren Nulstellen.

S_{x} (0 | 0)

5: Ableitungen

f' x = 12 x^{3} - 24 x^{2} + 12 x

f'' x = 36 x^{2} - 48 x + 12

f''' x = 72 x - 48

6: Extrempunkte
Die Potenz sagt mir, dass es bis zu drei Extrempunkte geben kann.
Die Funktion hat an diesen Punkten die Steigung Null, ich muss also die Ableitung gleich Null setzen.

f' x = 0

0 = 12 x^{3} - 24 x^{2} + 12 x

0 = x (12 x^{2} - 24 x + 12)

x_{1} = 0

x_{2,3} = 12 x^{2} - 24 x + 12 | : 12

x_{2,3} = x^{2} - 2 x + 1

Jetzt wieder pq-Formel

x_{2,3} = - 1 \pm \sqrt{0}

x_{2,3} = - 1

Ich hoffe, das stimmt so weit. Aber beim Monotonieverhalten habe ich gar keinene Ahnung mehr

: (

Hoffe, ihr könnt mir helfen.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kurvendiskussion (Mathematischer Grundbegriff)

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

michael777 aktiv_icon

20:31 Uhr, 12.03.2011

Definitionsmenge könnte man einfacher als

D = ℝ

angeben

bei der Nullstellenbestimmung könnte man statt

x

auch sofort

x^{2}

ausklammern

beim Extrempunkt fehlt noch ob es ein Hoch- oder Tiefpunkt ist
damit man dies sagen kann, den x-Wert in die zweite Ableitung einsetzen
dann den y-Wert des Extrempunktes berechnen, indem das

x

in die Ausgangsfunktion

f

eingesetzt wird
die 2. Nullstelle der 1. Ableitung ist nicht bei

x = - 1

sondern bei

x = 1

(Fehler bei der pq-Formel)

f'' (0) = 12 > 0 \Rightarrow

TP(0|0)

f'' (1) = 0

somit kein Extrempunkt sondern Wendepunkt mit waagrechter Tangente (auch Sattelpunkt genannt) WP(1|1)

zum Monotieverhalten:
in den Intervallen, in denen die erste Ableitung positiv ist, steigt

f

in den Intervallen, in denen die erste Ableitung negativ ist, fällt

f

im Intervall von

- \infty

bis 0 ist

f

fallend
im Intervall von 0 bis

+ \infty

ist

f

steigend

DmitriJakov aktiv_icon

20:39 Uhr, 12.03.2011

Die pq-Formel ist falsch.

p = - \frac{8}{3}, q = 2

x_{1; 2} = - \frac{p}{2} \pm \sqrt{{(\frac{p}{2})}^{2} - q}

x_{1; 2} = - (\frac{- \frac{8}{3}}{2}) \pm \sqrt{{(\frac{- \frac{8}{3}}{2})}^{2} - 2} = \frac{4}{3} \pm \sqrt{\frac{16}{9} - \frac{18}{9}} = \frac{4}{3} \pm \sqrt{- \frac{2}{9}}

Im Ergebnis kommt das zwar auf das selbe heraus, also keine weiteren Nullstellen. Jedoch ist die Korrektur schon notwendig ;-)

Matheeumelinchen aktiv_icon

20:56 Uhr, 12.03.2011

Danke ihr 2 :-)

Für die Monotonie muss ich also schauen, wo

f' (x) = 0

ist um die Intervallgrenzen anzugeben?

Den Wendepunkt untersuche ich also, indem ich meine Extrempunkte in

f'' (x)

einsetze und schaue, ob sie null werden?

michael777 aktiv_icon

21:02 Uhr, 12.03.2011

normalerweise bestimmt man Wendepunkte, indem man die zweite Ableitung nullsetzt und dann prüft ob an der Stelle die dritte Ableitung ungleich null ist

Matheeumelinchen aktiv_icon

21:09 Uhr, 12.03.2011

Also
f′′(x)=0
0=36x^2−48x+12

| : x

0 = 36 x - 48 x + (\frac{12}{x})

??? irgendwie steh ich auf dem schlauch

; (

michael777 aktiv_icon

21:11 Uhr, 12.03.2011

der Ansatz

f'' (x) = 0

ist schon richtig
aber nicht durch

x

teilen!
sondern durch

36

dividieren
dann pq-Formel

x^{2} - \frac{4}{3} x + \frac{1}{3} = 0

x_{1,2} = \frac{2}{3} \pm \sqrt{(\frac{4}{9} - \frac{1}{3})} = \frac{2}{3} \pm \frac{1}{3}

x_{1} = \frac{1}{3}

x_{2} = 1

f (\frac{1}{3}) = 0,407

WP1(1/3|0,407)

f (1) = 1

WP2(1|1)

Matheeumelinchen aktiv_icon

21:29 Uhr, 12.03.2011

Aso, ja klar. *klatsch*

f′′(x)=0
0=36x^2−48x+12

| : 36

0 = x^{2} - \frac{4}{3} x + \frac{1}{3}

- \frac{- \frac{4}{3}}{2} \pm \sqrt{{(\frac{- \frac{4}{3}}{2})}^{2} - \frac{1}{3}}

\frac{2}{3} \pm \sqrt{{(- \frac{2}{3})}^{2} - \frac{1}{3}}

\frac{2}{3} \pm \sqrt{(\frac{1}{9})}

\frac{2}{3} \pm \frac{1}{3}

x_{2} = 1

x_{3} = \frac{1}{3}

Soweit richtig??
Und dann?

michael777 aktiv_icon

21:31 Uhr, 12.03.2011

der Ausdruck unter der Wurzel ist falsch

da steht nur noch

\sqrt{\frac{1}{9}}

also kein Minuszeichen, weil

{(- \frac{2}{3})}^{2} = \frac{4}{9}

[

edit]
der Fehler wurde oben inzwischen korrigiert

Matheeumelinchen aktiv_icon

21:38 Uhr, 12.03.2011

Habs geändert. Aber was mach ich mit den Punkten?

michael777 aktiv_icon

21:39 Uhr, 12.03.2011

bis jetzt hast du nur die x-Werte der Wendepunkte

diese müssen nun in die 3. Ableitung eingesetzt werden um zu schauen, ob die dritte Ableitung ungleich null ist

wenn dies der Fall ist, dann den x-Wert in

f (x)

einsetzen um den y-Wert des Wendepunkts auszurechnen

Matheeumelinchen aktiv_icon

21:58 Uhr, 12.03.2011

Ahh, ok.

f''' (1) = 72 - 48

f''' (1) = 24 \neq 0

f''' (\frac{1}{3}) = \frac{73 - 48}{3}

f''' (\frac{1}{3}) = 8 \neq 0

f (\frac{1}{3}) = 3 \cdot {(\frac{1}{3})}^{4} - 8 \cdot {(\frac{1}{3})}^{3} + 6 \cdot {(\frac{1}{3})}^{2}

f (\frac{1}{3}) = 0,4074

f (1) = 3 - 8 + 6

f (1) = 1

W_{1} = ((\frac{1}{3}) | 0,4074)

W_{2} = (1 | 1)

Damit wären die Wendepunkte nachgewiesen.

Krümmungsverhalten:
Der Ansatz müsste ja sein, monoton steigend, wo

f' (x)

positiv ist und monoton fallend, fo es negativ ist, oder?

michael777 aktiv_icon

22:04 Uhr, 12.03.2011

um das Krümmungsverhalten anzugeben benötigt man die zweite Ableitung:

in dem Intervall, indem die zweite Ableitung positiv ist, ist die Funktion linksgekrümmt, die Steigung der Tangenten nimmt also zu
Linkskrümmung entspricht einer Drehung im Gegenuhrzeigersinn, also in mathematisch positiver Drehrichtung

in dem Intervall, indem die zweite Ableitung negativ ist, ist die Funktion
rechtsgekrümmt, die Steigung der Tangenten nimmt also ab

die Intervalle liegen zwischen den Wendepunkten, bzw. zwischen

- \infty

und dem Wendepunkt mit dem kleinsten x-Wert bzw. zwischen dem Wendepunkt mit dem größten x-Wert und

+ \infty

von

x = - \infty

bis

\frac{1}{3} : f'' > 0,

linksgekrümmt
von

x = \frac{1}{3}

bis

1 : f'' < 0,

rechtsgekrümmt
von

x = 1

bis

\infty : f'' > 0,

linksgekrümmt

Matheeumelinchen aktiv_icon

22:30 Uhr, 12.03.2011

Ah, cool, ich brauch da also nix zu rechnen, sonder kann das aus den Wendepunkten und dem Definitionsbereich ablesen.

Dann fehlt ja nurnoch der Wertebereich. Den kann ich dementsprechend auch aus der Krümmung ablesen. Da

x

in beiden Richtungen gegen unendlich läuft und an den Rändern positiv gekrümmt ist, ist der Wertebereich vom Minimum TP=(0|0)bis +unendlich?

michael777 aktiv_icon

08:47 Uhr, 13.03.2011

der Wertebereich bezieht sich auf die y-Werte
wie du richtig erkannt hast, ist der kleinste y-Wert 0 (im Tiefpunkt), die Funktion ist nach oben unbegrenzt
der Wertebereich

W = [0, \infty [

oder anders ausgedrückt

W = ℝ_{0}^{+}

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

866532

866444

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?