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2 Punkte + 1 Steigung = exakte Parabel

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Funktionsgleichung, Parabelgleichung

 
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naibaf77

naibaf77 aktiv_icon

19:04 Uhr, 19.10.2010

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Huhu, ich suche wie immer, keine Lösung, sondern den Lösungsweg :-D)
Ich wills verstehen, da ich das normal eigentlich können müsste, aber irgendwie habe ich einen Hänger :

Ich habe 2 Punkte gegeben P und Q und die Steigung im Punkt Q .
Daraus soll ich eine einzig-richtige Parabel machen, also eine Parabel, die beide Punkte schneidet, aber auch eben im Punkt Q eine bestimmte Steigung hat.

Sind nur 2 Punkte gegeben, ließe sich eine Parabel über ein Gleichungsystem mit a=b2+c (also durch einsetzen der beiden Punkte, und so weiter ...) bestimmen.

Aber nun ist eben noch eine Steigung gegeben und es wird nach einer einzigen Lösung gefragt.

Bitte erklären :-)
Danke!
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Quadratische Funktionen (Mathematischer Grundbegriff)
Parabel (Mathematischer Grundbegriff)
Quadratische Ergänzung

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Simone314159

Simone314159 aktiv_icon

19:23 Uhr, 19.10.2010

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okay, die allgemeine Ableitung von der Funktion einer Parabel ist ja
wenn f(x)= ax^2+bx+c ist
f'(x)= 2ax+b

wenn du in f(x) deine beiden Punkte einsetzt und in f'(x) den Punkt Q einsetzt hast du 3 Gleichungen mit drei verschiedenen Variablen.
3 Gleichungen mit 3 Variablen ist lösbar und du bekommst dein a,b,c.
Antwort
anonymous

anonymous

19:23 Uhr, 19.10.2010

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Deine erste Überlegung ist falsch.

Um das Gleichungssystem y=a⋅x2+b⋅x+c zu lösen brauchst du 3 Punkte.

Anstelle hast du nun 2 Punkte und eine Steigung.

Für Steigung: f'(x)=2⋅a⋅x+b

1. Gleichung (Punkt P)y=a⋅x2+b⋅x+c
2. Gleichung (Punkt Q)y=a⋅x2+b⋅x+c
3. Gleichung (Steigung Q)f'(x)=2⋅a⋅x+b

3 Gleichung, 3 Unbekannte (a,b,c)

Nun sollte es eigentlich lösbar sein.
Frage beantwortet
naibaf77

naibaf77 aktiv_icon

19:29 Uhr, 19.10.2010

Antworten
Okay, werde ich nachher mal ausprobieren. Stimmt ja 3 verschiedene Gleichungen sind eindeutig lösbar, ich war nur verwirrt durch die 3 Komponenten ... also x2,x,c
Keine Ahnung wieso :-D)

Danke ;-)
naibaf77

naibaf77 aktiv_icon

19:37 Uhr, 19.10.2010

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Bei zweien handelt sich sich nicht mehr um lineare Gleichungen, wie löse ich die denn jetzt auf? :(
Gauß fällt weg oder?
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Simone314159

Simone314159 aktiv_icon

19:39 Uhr, 19.10.2010

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wie wärs mit pq-Formel?
naibaf77

naibaf77 aktiv_icon

19:45 Uhr, 19.10.2010

Antworten
Ich habe ja unbekannte Vorfaktoren, was genau bringt mir dann die pq-Formel?

MfG
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Simone314159

Simone314159 aktiv_icon

19:50 Uhr, 19.10.2010

Antworten
tut mir leid, das hat natürlich nichts mit pq-formel zu tun, war grad irgendwie woanders...
zuerst eliminierst du die variable c aus den beiden Gleichungen von f(x) mit P und Q eingesetzt(durch Additionsverfahren oder so)
dann kannst du mit der entstandenen Gleichung und der Gleichung von f'(X) mit Q eingesetzt a oder b eliminieren(wieder durch gleichsetzung, addition oder einsetzungsverfahren). anschließend hast due eine gleichung mit einer variablen, die löst ud ganz normal auf. wenn du jetzt die gefundene variable in f'(x) mit Q eingesetzt einsetzt kannst du die andere variable herausfinden und auch so letzten endes c. und du hast deine gleichung.
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