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Alle reellen Lösungen von Winkelfunktionen finden

Schüler

Tags: Cosinus, Sinus

 
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Tivot

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22:45 Uhr, 04.12.2019

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Ich habe folgende Aufgabe:

Finden Sie alle reellen Lösungen der folgenden Gleichung:
1-2⋅sin(x)=cos(2x)

Ich gebe offen zu, dass mir dazu gar nichts einfällt. Ist das Ergebnis nicht unendlich?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Sinus (Mathematischer Grundbegriff)
Trigonometrie (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige trigonometrische Werte
Additionstheoreme
Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Rechenregeln Trigonometrie

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
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Roman-22

Roman-22

23:04 Uhr, 04.12.2019

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> Ist das Ergebnis nicht unendlich?
Naja, wegen der Periodizität der Winkelfunktionen existieren natürlich unendlich viele Lösungen in ℝ.
Zur Lösung wandle erstmal cos(2x) mithilfe des Additionstheorems um in einen Ausdruck bei dem x nur mehr in der Form sin(x) vorkommt und löse dann die sich ergebende quadratische Gleichung in sin(x). Dafür benötigst du hier nichtmal eine Formel, da es sich um eine besonders freundliche Gleichung handelt, die du durch Ausklammern und Anwendung des "Produkt-Null-Satzes" lösen kannst.
Tivot

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23:23 Uhr, 04.12.2019

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"Zur Lösung wandle erstmal cos(2x) mithilfe des Additionstheorems um in einen Ausdruck bei dem x nur mehr in der Form sin(x) vorkommt und löse dann die sich ergebende quadratische Gleichung in sin(x)."

Laut Formelsammlung:

cos(2x)=1-2⋅sin(x)2

Meintest du diese Umformung?

Umformen:

-1=-2⋅sin(x)2

Wenn ich das in den Taschenrechner eingebe, kommt 19,63... raus. Bin ich auf dem richtigen Weg?
Antwort
Roman-22

Roman-22

23:26 Uhr, 04.12.2019

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> Meintest du diese Umformung?
JA

>Umformen:
> −1=−2⋅sin(x)2
NEIN! Wo sind denn die 1-2⋅sin(x) von der linken Seite deiner Angabegleichung?
Abgesehen davon meinst du vermutlich nicht 19,63 sondern 19,63∘.
Du solltest die Rechnung aber besser im Bogenmaß durchführen.
Tivot

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23:31 Uhr, 04.12.2019

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Ah, also:

1-2⋅sin(x)=1-2⋅sin(x)2

Stimmt jetzt?
Antwort
Roman-22

Roman-22

23:32 Uhr, 04.12.2019

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Ja, das ist die Gleichung, die du lösen musst
Tivot

Tivot aktiv_icon

23:42 Uhr, 04.12.2019

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Ist das alles so richtig reingehauen?

www.symbolab.com/solver/equation-calculator/1-2sin%5Cleft(x%5Cright)%3D1-2sin%5Cleft(x%5Cright)%5E%7B2%7D

Die Ergebnisse kann man auf der obigen Seite sehen.

Wie rechnet man solche Aufgaben eigentlich händisch aus? Mir fällt irgendwie bei sowas wie sin(x)=sin(x)2 kein Ansatz ein.
Antwort
Roman-22

Roman-22

00:38 Uhr, 05.12.2019

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> Ist das alles so richtig reingehauen?
Da kann man ja nicht viel falsch machen, oder? Die Seite hätte auch cos(2x) geschluckt

> Wie rechnet man solche Aufgaben eigentlich händisch aus? Mir fällt irgendwie bei sowas wie sin(x)=sin(x)2 kein Ansatz ein.
Hab ich ja bereits eingangs geschrieben! Alles auf eine Seite, dann Ausklammern und Produkt-Null-Satz.
Alternativ kannst du auch stur die quadratische Gleichung nach der Formel deiner Wahl lösen. Die Seite, die du angegeben hast, gibt dir die Rechnung doch ohnedies Schritt für Schritt vor.
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