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Analysis Stammfunktion Extrem Wendepunkte Integral

Schüler

Tags: Analysis, Extrempunkt, Integral, Stammfunktion, Wendepunkt

skandinavia aktiv_icon

14:36 Uhr, 22.01.2013

Zu einem Stausee führt ein einziger Zulaufkanal. Die Zuflussgeschwindigkeit des Wassers in den ersten Stunden nach einem Wolkenbruch wird durch die Funktion

f

mit

f (t) = 1,6 \cdot e^{- \frac{t}{10}} (1 - e^{- \frac{t}{10}})

beschrieben. Dabei ist

f (t) =

die Zuflussgeschwinigkeit

(

in Mio.

m^{3}

pro Stunde ) zum Zeitpunkt

t

t

steht für Zeit in Stunden.

Aufgabe 1. ) Bestimmen Sie die Extrem - und Wendepunkte des Graphen von

f

und den Verlauf des Graphen für

t

gegen unendlich.

Aufgabe 2. ) Durch den Zulaufkanal können pro Stunde höchstens

0,5

Millionen Kubikmeter fließén. Beurteilen Sie , ob der Zulaufkanal nach dem oben beschriebenen Wolkenbruch überlastet ist.

Aufgabe 3. ) Berechnen Sie das Integral von 5 (unten) bis

20 (

oben) für

f (t) d t

unter der Verwendung einer Stammfunktion. Erläutern Sie die inhaltliche Bedeutung des Ergebnisses im Sprachzusammenhang.

Aufgabe 4. ) Bestimmen Sie die durchschnittliche Zuflussgeschwindigkeit im Zeitintervall

(5; 20)

.

Kann mir jemand helfen ? :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Bestimmtes Integral (Mathematischer Grundbegriff)
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Flächenberechnung durch Integrieren
Wendepunkte (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Krümmungsverhalten
Stammfunktion
Wendepunkte
ln-Funktion

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

prodomo aktiv_icon

15:53 Uhr, 22.01.2013

Es wird einfacher, wenn du

f (t)

ausmultiplizierst.

f (t) = 1,6 \cdot (e^{- 0,1 \cdot t} - e^{- 0,2 \cdot t})

. Für die Ableitungen brauchst du die Kettenregel. Jede e-Funktion ergibt sich selbst man der Ableitung des Exponenten (innere Ableitung). Also

f' (t) = 1,6 \cdot [- 0,1 \cdot e^{- 0,1 \cdot t} + 0,2 \cdot e^{- 0,2 \cdot t}]

und

f'' (t) = 1,6 \cdot [0,01 \cdot e^{- 0,1 \cdot t} - 0,04 \cdot e^{- 0,2 \cdot t}]

. Schließlich

f''' (t) = 1,6 \cdot [- 0,001 \cdot e^{- 0,1 \cdot t} + 0,008 \cdot e^{- 0,2 \cdot t}]

. Für Extrempunkte muss

f' (t_{e}) = 0

sein, also

1,6 \cdot [- 0,1 \cdot e^{- 0,1 \cdot t} + 0,2 \cdot e^{- 0,2 \cdot t}] = 0

. Da die

1,6

nicht 0 werden können, muss es die Klammer sein. Daher

- 0,1 \cdot e^{- 0,1 \cdot t} + 0,2 \cdot e^{- 0,2 \cdot t} = 0

. Weil der Faktor

e^{- 0,1 \cdot t}

nicht 0 sein kann, lässt sich die Gleichung durch ihn dividieren (das wird immer wieder passieren) und ergibt

- 0,1 + 0,2 \cdot e^{- 0,1 \cdot t} = 0

. Addition von

0,1

und anschließende Division durch

0,2

liefert

e^{- 0,1 \cdot t} = 0,5

. Logarithmieren und dann durch

(- 0,1)

teilen ergibt

t = \frac{ln 0,5}{- 0,1} \approx 6,93

. Das passt zum Bild

(s

. Anhang).
Weiter gilt

f'' (6,93) = 1,6 \cdot (0,01 \cdot 0,5 - 0,04 \cdot 0,25) = - \frac{1}{125} < 0

. Daher handelt es sich sicher um ein Maximum. Der Funktionswert ergibt sich zu

1,6 \cdot 0,5 \cdot (1 - 0,5) = 0,4

. Auch das passt zum Bild. Ich habe nicht

6,93

eingesetzt, weil es ein ungefährer Wert ist, sondern

e^{- 0,1 \cdot t} = 0,5

benutzt. Auch das wird öfter vorkommen.
Soweit fürs erste, sonst wird die Antwort zu lang.

prodomo aktiv_icon

16:55 Uhr, 22.01.2013

Analog zur Berechnung des Extrempunktes gilt für den Wendepunkt

1,6 \cdot (0,01 \cdot e^{- 0,1 \cdot t} - 0,04 \cdot e^{- 0,2 \cdot t}) = 0

. Division durch

e^{- 0,1 \cdot t}

wie oben liefert

0,01 - 0,04 \cdot e^{- 0,1 \cdot t} = 0

oder

e^{- 0,1 \cdot t} = \frac{1}{4}

. Daraus folgt

t = \frac{ln 0,25}{- 0,1} =

13,86..(der doppelte Wert des Extrempunktes). Mit

e^{- 0,1 \cdot t} = \frac{1}{4}

folgt

f'''

ungleich

0,

also ist das ein Wendepunkt.
Wegen

lim_{t \mapsto \infty} e^{- 0,1 \cdot t} = 0

folgt

lim_{t \mapsto \infty} f (t) = 0,

wie auch im Bild ersichtlich.
Mit

e^{- 0,1 \cdot t}) \frac{1}{4}

ergibt sich

f (13,86 . .) = 1,6 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{4} =

0,3.Passt zum Bild.
Der Kanal ist nicht überlastet, weil

0,5

größer als der höchst Funktionswert von

0,4

ist.
Das Integral von 5 bis

20

beschreibt die in diesem Zeitraum zugeflossenen Wassermenge in Mio. Kubikmetern. Die Stammfunktion ist

F (t) = - 16 \cdot e^{- 0,1 \cdot t} + 8 \cdot e^{- 0,2 \cdot t}

. Einsetzen gibt

4,74

FE. Für den Durchschnittswert muss das noch durch

15

Stunden geteilt werden, gibt

0,31

skandinavia aktiv_icon

18:54 Uhr, 22.01.2013

Vielen lieben Dank! :-)

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