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Aufstellen einer Funktionsgleichung

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: Funktionsgleichung

anonymous

15:30 Uhr, 25.05.2009

Hallo, ich habe gerade ein Problem beim Aufstellen einer zur Y-Achse symmetrischen Funktionsgleichung.
Es handelt sich dabei um folgende Aufgabe.
Der symmetrische Giebel eines Barockhauses soll rekonstruiert werden.Eine für alle

x

definierte,gerade,ganzrationale Funktion vierten Grades

f

beschreibt im entsprechenden Intervall

[- 4; 4]

den oberen Giebelrand.Die x-Achse ist Tangente an den Graph der Funktion

f

in den Punkten

P 1 (- 4 | 0) u

P 2 (4 | 0)

Die maximale Höhe des Giebels über der Dachkante beträgt

4,0 m

.

Meine Funktionsgleichungen würden lauten:

da x-Achse Tangente ist

f' (4) = 0

f' (- 4) = 0

und maximale Höhe ?

da bin ich mir unsicher

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MF-2000 aktiv_icon

15:34 Uhr, 25.05.2009

gente an den Graph der Funktion

f

in den Punkten

P 1 (- 4 | 0) u

P 2 (4 | 0)

Die maximale Höhe des Giebels über der Dachkante beträgt

4,0 m

.

Meine Funktionsgleichungen würden lauten:

da x-Achse Tangente ist

f' (4) = 0

f' (- 4) = 0

ja stimmt. Aber zusätzlich existieren die Punkte ja auch noch. Ohne, dass sie Hoch und oder Tiefpunkte sind. Also.

f' (4) = 0

f' (- 4) = 0

f (- 4) = 0

f (4) = 0

anonymous

15:37 Uhr, 25.05.2009

Danke für die schnelle Antwort aber was ist, wenn du dir mal die entsprechende Zeichnung ansiehst, mit dem Punkt zwischen den beiden Berührpunkten ?
Hat der keine Aussagekraft ?

MF-2000 aktiv_icon

15:52 Uhr, 25.05.2009

Ich weiß nicht, worauf du genau raus willst. Das war übrigends auch das Problem von Einstein während seiner Schulzeit :-)

Mit Intervall

- 4 | 4

denke ich, dass du meinst die Zeichnung findet nur zw.

x = - 4

und

x = 4

statt.

Aber jetuzt wo du etwas sagst fällt mir auf, dass durch den Hochpunkt

4 m

evtl gedacht sein könnte, dass der Hochpunkt bei

y = 4 x = 0

sein könnte.

Also zudem

f' (0) = 4

und

f (0) = 4

.
Die anderen Hochpunkte wären dadurch nicht ausgeschlossen.

MF-2000 aktiv_icon

15:54 Uhr, 25.05.2009

Dachkante beträgt

4,0 m

4 m

? wenn du als einheit

m

verwendest stimmt meine Annahme mit dem Hochpunkt.

anonymous

15:56 Uhr, 25.05.2009

Was mich jetzt noch interessiert ist, was genau Einsteins Problem war ?

MF-2000 aktiv_icon

15:57 Uhr, 25.05.2009

Kaum ein Lehrer verstand seine Fragen :-)

anonymous

15:59 Uhr, 25.05.2009

Und was mich auch verwundert, ist die Tatsache, dass wir zur Ermittlung einer Funktion mit lediglich drei Variablen 6 Gleichungen benötigen.
Normalerweise decken sich die Anzahl der Gleichungen mit der der Variablen.

MF-2000 aktiv_icon

16:12 Uhr, 25.05.2009

Du hast ne Funktion vierten Grades - also brauchst du

min

. vier Gleichungen. Wie erwähnt, mit dem Hochpunkt bei

0 | 4

bin ich mir eben wegen der Angabe

4 m

nicht ganz sicher. Aber es wäre logisch. Normalerweise hat man aber immer eine Gleichung mehr als man wirklich benötigt.
Danke für das Angebot :-)

anonymous

16:14 Uhr, 25.05.2009

Meine Funktion ist aber zur y-Achse symmetrisch, was bedeutet, dass sie nur gerade Exponenten besitzen kann.
ax^4+bx2+c

MF-2000 aktiv_icon

16:15 Uhr, 25.05.2009

Ja ist ja deswegen nicht ausgeschlossen...

ax^4+bx^3+cx^2+dx+e

sry, muss weg...

StuEv aktiv_icon

16:55 Uhr, 25.05.2009

da die funktion symmetrisch zur y-achse ist darf sie nur gerade exponennten enthalten es gilt

f (x) = a \cdot x^{4} + b \cdot x^{2} + c

4 m

ist extrema zwischen den berührpunkten.

du kannst 6gleichungen aufstellen:

f' (0) = 0

f (0) = 4

f' (4) = 0

f' (- 4) = 0

f (4) = 0

f (- 4) = 0

somit hast du ein LGS und kannst lösen.

beim bestimmen des HP bleibt die ursprüngliche funktion erhalten.

Gruß StuEv

anonymous

16:57 Uhr, 25.05.2009

Warum

f' (0) = 0,

obwohl wir doch wissen, dass bei

f' (0) = 4

ein HP ist ?

StuEv aktiv_icon

17:02 Uhr, 25.05.2009

hast recht wir brauchen nur 5 gleichungen die muss weg danke

anonymous

17:07 Uhr, 25.05.2009

du sagst, wir brauchen nur 5 gleichungen aber welche wären das dann... kannst du die bitte einfach nochmal hinschreiben, denn ich gehe immer noch von 6 aus, da muss wohl ein denkfehler drinsitzen..

f' (0) = 4

f (0) = 4

f' (- 4) = 0

f' (4) = 0

f (4) = 0

f (- 4) = 0

StuEv aktiv_icon

17:38 Uhr, 25.05.2009

wobei doch es gilt

f' (0) = 0

da der

x

wert des hp's 0 ist und somit eingesetzt auch null ergibt dann weißt du das

d = 0

ist

StuEv aktiv_icon

18:13 Uhr, 25.05.2009

stell doch bitte mal die gleichungen auf

anonymous

18:51 Uhr, 25.05.2009

bei

x = - 4

berührpunkt

f' (- 4) = 0

f (- 4) = 0

selbiges bei

x = 4

f' (4) = 0

f (4) = 0

und bei

x = 0

und

y = 4

f' (0) = 4

f (0) = 4

StuEv aktiv_icon

19:26 Uhr, 25.05.2009

es gilt

f' (0) = 0

da die tangente dort die steigung null hat und der extrempunkt bzw der

x

wert des extrempunktes dort eingesetzt wieder null ergeben muss.

anonymous

19:32 Uhr, 25.05.2009

die koord. vom hp sind aber doch

(0 | 4)

warum dann

f' (0) = 0,

das dürfte doch nur dann zutreffen wenn die aussage bestände der graph hat an der stelle

x = 0

einen hp..wir wissen aber genau, dass der hp bei

(0 | 4)

liegt

StuEv aktiv_icon

19:45 Uhr, 25.05.2009

ok fangen wir von vornen an.

Es gilt:

f (x) = a \cdot x^{4} + b \cdot x^{2} + c

wir brauchen auf jedenfall die ableitung. diese ist:

f' (x) = 4 a \cdot x^{3} + 2 b \cdot x

also was wir wissen ist:

f (0) = 4

f (- 4) = 0

f (4) = 0

f' (- 4) = 0

f' (4) = 0

dann gehts los:

0 a + 0 b + c = 4

256 a + 16 b + c = 0

256 a + 16 b + c = 0

- 256 a - 8 b = 0

256 a + 8 b = 0

dann weißt du schonmal das

c = 4

ist. nun setzt du ein und bringst die entschlüsselte variable

c

auf die andere seite.

256 a + 16 b = - 4

256 a + 16 b = - 4

- 256 a - 8 b = 0

256 a + 8 b = 0

jetzt hast du ein LGS das du mit tem Taschenrechner lösen kannst.

Die richtige Lösung ist:

f (x) = (\frac{1}{64}) x^{4} - (\frac{1}{2}) x^{2} + 4

Gruß StuEv

anonymous

20:06 Uhr, 25.05.2009

habe ich parallel zu deiner rechnung gerade in meinem zimmer auf papier gemacht, passt alles vielen vielen dank

!!

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