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Bestimmen der Funktionsgleichung

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: Funktionsgleichung

 
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steki92

steki92 aktiv_icon

15:51 Uhr, 21.08.2011

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Aufgabe: Eine quadratische Funktion hat die Nullstellen s und -s. Der maximale Funktionswert ist h. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung.

Ich habe es folgender Massen versucht zu lösen:

N_1(s/0) ; N_2(-s/0); f(x)=h

y=a(x-x_1)(x-x_2)
h=a(x-s)(x+s)
h=a(x^2-s^2) I:(x^2-s^2)

\fra{h}{x^2-s^2} = a

-> y= \fra{h}{x^2-s^2}(x-s)(x+s)
y= \fra{hx^2}{x^2-s^2}- \fra{hs^2}{x^2-s^2}

Meine Lösung ist aber falsch :(

Richtig wäre: y= - \fra{h}{s^2} *x^2+h

Würde mich über einen Lösungsweg freuen :-)

Lg steki92


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Shipwater

Shipwater aktiv_icon

16:03 Uhr, 21.08.2011

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Scheitelstelle liegt immer zwischen den Nullstellen, hier also bei xs=0. Damit ist f(0)=h.
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DmitriJakov

DmitriJakov aktiv_icon

16:04 Uhr, 21.08.2011

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Wenn Du in LaTex schreibst, dann schreibe bitte frac. Aber im Textmodus ist es viel angenehmer zu tippen, denn da kann man z.B. schreiben: "(a+b)/(c-d)" und das wird dann angezeigt als: a+bc-d

Dein Ansatz mit y=a(x-x1)(x-x2) war schon sehr gut. Aber dann wurde es schief:

y=a⋅(x-s)(x+s)=a⋅(x2-s2)

Der Extrempunkt liegt dort, wo f'(x) Null wird, also bilde die erste Ableitung:
y'=2⋅ax=0
→x=0

Wei zu erwarten war, liegt der Scheitelpunkt an der Stelle x=0. Der Funktionswert an dieser Stelle beträgt h, also gilt:

f(0)=h

h=a(02-s2)

h=-a⋅s2
steki92

steki92 aktiv_icon

17:29 Uhr, 21.08.2011

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Also so viel ich weiss, liegt die Scheitelpunktsstelle genau in der Mitte zwischen den beiden Nullstellen. Von daher macht es für mich Sinn, dass f(0)=h ist.

h=a⋅(0-s)⋅(0+s)
h=a-s2....................... I+s^2
h+s2=a

Dann hat man doch a herausgefunden, oder?

Anschliessend setzt man nur noch das a in die Scheitelpunktsform hinein:

y=h+s2⋅(x-s)⋅(x+s)

irgendwie scheint dies auch nicht zu stimmen -.-
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DmitriJakov

DmitriJakov aktiv_icon

17:34 Uhr, 21.08.2011

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Also ich wäre nach wie vor für h=-a⋅s2→a=-hs2
Frage beantwortet
steki92

steki92 aktiv_icon

17:41 Uhr, 21.08.2011

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Ja, du hast recht ;D ist ja klar :-) vielen Dank!
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Shipwater

Shipwater aktiv_icon

18:08 Uhr, 21.08.2011

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Noch ein Hinweis: Da du den Scheitelpunkt S(0|h) kennst, kannst du diesen auch in die Scheitelpunktsform f(x)=a(x-xs)2+ys einsetzen, wodurch du f(x)=ax2+h erhältst. Punktprobe von N1(s|0) oder N2(-s|0) ergibt dann as2+h=0⇔a=-hs2
Deine Funktionsgleichung ist also f(x)=-hs2x2+h
Das stimmt mit f(x)=-hs2(x+s)(x-s) überein.