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Beweis: cos(x)+cos(y)=2cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2)

Universität / Fachhochschule

Funktionen

Tags: Additionstheorem, Cosinus, Funktion, Sinus

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23:24 Uhr, 01.01.2017

Hallo ich habe folgende Aufgabe vor mir und schetere an dem Beweis:

cos (x) + cos (y) = 2 \cdot cos (\frac{x + y}{2}) \cdot cos (\frac{x - y}{2})

Mein Ansatz:

(1) cos (x) + cos (y) = 2 \cdot cos (\frac{x + y}{2}) \cdot cos (\frac{x - y}{2})

(2) \Leftrightarrow cos (x) + cos (y) = cos (\frac{x + y}{2}) \cdot cos (\frac{x - y}{2}) + cos (\frac{x + y}{2}) \cdot cos (\frac{x - y}{2})

(3) \Leftrightarrow cos (x) + cos (y) = \frac{1}{2} \cdot (cos ((\frac{x}{2} - \frac{y}{2}) - (\frac{x}{2} + \frac{y}{2})) + cos ((\frac{x}{2} - \frac{y}{2}) + (\frac{x}{2} + \frac{y}{2}))) +

\frac{1}{2} \cdot (cos ((\frac{x}{2} - \frac{y}{2}) - (\frac{x}{2} + \frac{y}{2})) + cos ((\frac{x}{2} - \frac{y}{2}) + (\frac{x}{2} + \frac{y}{2})))

(4) \Leftrightarrow cos (x) + cos (y) = \frac{1}{2} \cdot (cos (x) + cos (- y)) + \frac{1}{2} \cdot ((cos (x) + cos (- y))

(5) \Leftrightarrow cos (x) + cos (y) = cos (x) + cos (- y)

(6) \Leftrightarrow cos (x) + cos (y) = cos (x) + cos (y)

So meine Frage bezieht sich jetzt hauptsaechlich auf Schrit 3 zu 4 das habe ich einfach meine Script entnommen, aber wieso ist das so ? Ich vermute mal stark das es mit den Sin/Cos Additionstheoremen zusammenhangt aber ich sehe den Zusammenhang hier einfach nicht

Vielen Dank!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Sinus (Mathematischer Grundbegriff)
Trigonometrie (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige trigonometrische Werte
Additionstheoreme
Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Rechenregeln Trigonometrie

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Definition von Sinus, Kosinus und Tangens
Einführung Funktionen
Sinus und Kosinus für beliebige Winkel

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